Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15567 / 3375
↖ ↑ ↗
← N 72.080673°
E162.048340°		 ← 751.72 m → N 72.080673°
E162.070312°		 →
↑
751.84 m
↓
↑
751.84 m
↓
N 72.073911°
E162.048340°		 ← 752 m →
565 279 m²		 N 72.073911°
E162.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950164794921875 y=0.206024169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950164794921875 × 214)
    floor (0.950164794921875 × 16384)
    floor (15567.5)     		tx = 15567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206024169921875 × 214)
    floor (0.206024169921875 × 16384)
    floor (3375.5)     		ty = 3375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15567 / 3375 ti = "14/15567/3375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15567/3375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15567 ÷ 214
    15567 ÷ 16384     		x = 0.95013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3375 ÷ 214
    3375 ÷ 16384     		y = 0.20599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95013427734375 × 2 - 1) × π
    0.9002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82827708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20599365234375 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84729636375848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82827708} λ = 2.82827708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84729636375848))-π/2
    2×atan(6.34264810714135)-π/2
    2×1.4144207007229-π/2
    2.8288414014458-1.57079632675     		φ = 1.25804507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82827708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25804507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.080673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15567 KachelY 3375 2.82827708 1.25804507 162.048340 72.080673
    Oben rechts KachelX + 1 15568 KachelY 3375 2.82866057 1.25804507 162.070312 72.080673
    Unten links KachelX 15567 KachelY + 1 3376 2.82827708 1.25792706 162.048340 72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 15568 KachelY + 1 3376 2.82866057 1.25792706 162.070312 72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25804507-1.25792706) × R
    0.000118010000000002 × 6371000     		dl = 751.841710000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25804507-1.25792706) × R
    0.000118010000000002 × 6371000     		dr = 751.841710000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82827708-2.82866057) × cos(1.25804507) × R
    0.000383489999999931 × 0.307677592786325 × 6371000     		do = 751.722445247011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82827708-2.82866057) × cos(1.25792706) × R
    0.000383489999999931 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 751.996777396676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25804507)-sin(1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307677592786325-0.307789876057852)×R²
    abs(2.82866057-2.82827708)×0.000112283271527291×R²
    0.000383489999999931×0.000112283271527291×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112283271527291×40589641000000     		ar = 565279.41651219m²