Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15566 / 9758
↖ ↑ ↗
← N 58.642653°
W  8.986817°		 ← 635.71 m → N 58.642653°
W  8.975830°		 →
↑
635.76 m
↓
↑
635.76 m
↓
N 58.636935°
W  8.986817°		 ← 635.81 m →
404 193 m²		 N 58.636935°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475051879882812 y=0.297805786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475051879882812 × 215)
    floor (0.475051879882812 × 32768)
    floor (15566.5)     		tx = 15566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297805786132812 × 215)
    floor (0.297805786132812 × 32768)
    floor (9758.5)     		ty = 9758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15566 / 9758 ti = "15/15566/9758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15566/9758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15566 ÷ 215
    15566 ÷ 32768     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9758 ÷ 215
    9758 ÷ 32768     		y = 0.29779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29779052734375 × 2 - 1) × π
    0.4044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27051958752997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27051958752997))-π/2
    2×atan(3.56270321769006)-π/2
    2×1.29715184764659-π/2
    2.59430369529319-1.57079632675     		φ = 1.02350737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02350737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.642653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15566 KachelY 9758 -0.15684954 1.02350737 -8.986817 58.642653
    Oben rechts KachelX + 1 15567 KachelY 9758 -0.15665779 1.02350737 -8.975830 58.642653
    Unten links KachelX 15566 KachelY + 1 9759 -0.15684954 1.02340758 -8.986817 58.636935
    Unten rechts KachelX + 1 15567 KachelY + 1 9759 -0.15665779 1.02340758 -8.975830 58.636935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02350737-1.02340758) × R
    9.9789999999933e-05 × 6371000     		dl = 635.762089999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02350737-1.02340758) × R
    9.9789999999933e-05 × 6371000     		dr = 635.762089999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.02350737) × R
    0.000191750000000018 × 0.52037408013868 × 6371000     		do = 635.709400980117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.02340758) × R
    0.000191750000000018 × 0.520459292062023 × 6371000     		du = 635.813499210242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02350737)-sin(1.02340758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52037408013868-0.520459292062023)×R²
    abs(-0.15665779--0.15684954)×8.52119233436532e-05×R²
    0.000191750000000018×8.52119233436532e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.52119233436532e-05×40589641000000     		ar = 404193.0285888m²