Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15566 / 8778
↖ ↑ ↗
← N 63.811592°
W  8.986817°		 ← 539.14 m → N 63.811592°
W  8.975830°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 63.806744°
W  8.986817°		 ← 539.23 m →
290 717 m²		 N 63.806744°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475051879882812 y=0.267898559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475051879882812 × 215)
    floor (0.475051879882812 × 32768)
    floor (15566.5)     		tx = 15566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267898559570312 × 215)
    floor (0.267898559570312 × 32768)
    floor (8778.5)     		ty = 8778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15566 / 8778 ti = "15/15566/8778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15566/8778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15566 ÷ 215
    15566 ÷ 32768     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8778 ÷ 215
    8778 ÷ 32768     		y = 0.26788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26788330078125 × 2 - 1) × π
    0.4642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45843223404059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45843223404059))-π/2
    2×atan(4.29921408059737)-π/2
    2×1.34225935627165-π/2
    2.6845187125433-1.57079632675     		φ = 1.11372239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11372239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.811592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15566 KachelY 8778 -0.15684954 1.11372239 -8.986817 63.811592
    Oben rechts KachelX + 1 15567 KachelY 8778 -0.15665779 1.11372239 -8.975830 63.811592
    Unten links KachelX 15566 KachelY + 1 8779 -0.15684954 1.11363776 -8.986817 63.806744
    Unten rechts KachelX + 1 15567 KachelY + 1 8779 -0.15665779 1.11363776 -8.975830 63.806744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11372239-1.11363776) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11372239-1.11363776) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.11372239) × R
    0.000191750000000018 × 0.441324303957781 × 6371000     		do = 539.139091693807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.11363776) × R
    0.000191750000000018 × 0.441400244911411 × 6371000     		du = 539.231864143444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11372239)-sin(1.11363776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441324303957781-0.441400244911411)×R²
    abs(-0.15665779--0.15684954)×7.59409536300049e-05×R²
    0.000191750000000018×7.59409536300049e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.59409536300049e-05×40589641000000     		ar = 290716.802205798m²