Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15566 / 8494
↖ ↑ ↗
← N 65.155349°
W  8.986817°		 ← 513.28 m → N 65.155349°
W  8.975830°		 →
↑
513.38 m
↓
↑
513.38 m
↓
N 65.150732°
W  8.986817°		 ← 513.37 m →
263 530 m²		 N 65.150732°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475051879882812 y=0.259231567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475051879882812 × 215)
    floor (0.475051879882812 × 32768)
    floor (15566.5)     		tx = 15566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259231567382812 × 215)
    floor (0.259231567382812 × 32768)
    floor (8494.5)     		ty = 8494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15566 / 8494 ti = "15/15566/8494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15566/8494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15566 ÷ 215
    15566 ÷ 32768     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8494 ÷ 215
    8494 ÷ 32768     		y = 0.25921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25921630859375 × 2 - 1) × π
    0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51288855200897))-π/2
    2×atan(4.53982539475663)-π/2
    2×1.35398584145022-π/2
    2.70797168290045-1.57079632675     		φ = 1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15566 KachelY 8494 -0.15684954 1.13717536 -8.986817 65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 15567 KachelY 8494 -0.15665779 1.13717536 -8.975830 65.155349
    Unten links KachelX 15566 KachelY + 1 8495 -0.15684954 1.13709478 -8.986817 65.150732
    Unten rechts KachelX + 1 15567 KachelY + 1 8495 -0.15665779 1.13709478 -8.975830 65.150732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13717536-1.13709478) × R
    8.05800000001078e-05 × 6371000     		dl = 513.375180000687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13717536-1.13709478) × R
    8.05800000001078e-05 × 6371000     		dr = 513.375180000687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.13717536) × R
    0.000191750000000018 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 513.28321082351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(1.13709478) × R
    0.000191750000000018 × 0.420232518139637 × 6371000     		du = 513.372538285766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13717536)-sin(1.13709478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420232518139637)×R²
    abs(-0.15665779--0.15684954)×7.31209825288737e-05×R²
    0.000191750000000018×7.31209825288737e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.31209825288737e-05×40589641000000     		ar = 263529.790141373m²