Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15565 / 9757
↖ ↑ ↗
← N 58.648369°
W  8.997803°		 ← 635.57 m → N 58.648369°
W  8.986817°		 →
↑
635.63 m
↓
↑
635.63 m
↓
N 58.642653°
W  8.997803°		 ← 635.68 m →
404 025 m²		 N 58.642653°
W  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475021362304688 y=0.297775268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475021362304688 × 215)
    floor (0.475021362304688 × 32768)
    floor (15565.5)     		tx = 15565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297775268554688 × 215)
    floor (0.297775268554688 × 32768)
    floor (9757.5)     		ty = 9757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15565 / 9757 ti = "15/15565/9757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15565/9757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15565 ÷ 215
    15565 ÷ 32768     		x = 0.475006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9757 ÷ 215
    9757 ÷ 32768     		y = 0.297760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.04998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15704128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297760009765625 × 2 - 1) × π
    0.40447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27071133512845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15704128} λ = -0.15704128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27071133512845))-π/2
    2×atan(3.56338642297554)-π/2
    2×1.29720173380242-π/2
    2.59440346760483-1.57079632675     		φ = 1.02360714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15704128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.997803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02360714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.648369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15565 KachelY 9757 -0.15704128 1.02360714 -8.997803 58.648369
    Oben rechts KachelX + 1 15566 KachelY 9757 -0.15684954 1.02360714 -8.986817 58.648369
    Unten links KachelX 15565 KachelY + 1 9758 -0.15704128 1.02350737 -8.997803 58.642653
    Unten rechts KachelX + 1 15566 KachelY + 1 9758 -0.15684954 1.02350737 -8.986817 58.642653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02360714-1.02350737) × R
    9.97700000000545e-05 × 6371000     		dl = 635.634670000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02360714-1.02350737) × R
    9.97700000000545e-05 × 6371000     		dr = 635.634670000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15704128--0.15684954) × cos(1.02360714) × R
    0.000191739999999996 × 0.520288880113235 × 6371000     		do = 635.572169680306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15704128--0.15684954) × cos(1.02350737) × R
    0.000191739999999996 × 0.52037408013868 × 6371000     		du = 635.676247947397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02360714)-sin(1.02350737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520288880113235-0.52037408013868)×R²
    abs(-0.15684954--0.15704128)×8.52000254449869e-05×R²
    0.000191739999999996×8.52000254449869e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.52000254449869e-05×40589641000000     		ar = 404024.784549278m²