Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15565 / 3374
↖ ↑ ↗
← N 72.087433°
E162.004395°		 ← 751.45 m → N 72.087433°
E162.026367°		 →
↑
751.65 m
↓
↑
751.65 m
↓
N 72.080673°
E162.004395°		 ← 751.72 m →
564 930 m²		 N 72.080673°
E162.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950042724609375 y=0.205963134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950042724609375 × 214)
    floor (0.950042724609375 × 16384)
    floor (15565.5)     		tx = 15565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205963134765625 × 214)
    floor (0.205963134765625 × 16384)
    floor (3374.5)     		ty = 3374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15565 / 3374 ti = "14/15565/3374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15565/3374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15565 ÷ 214
    15565 ÷ 16384     		x = 0.95001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3374 ÷ 214
    3374 ÷ 16384     		y = 0.2059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95001220703125 × 2 - 1) × π
    0.9000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82751009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2059326171875 × 2 - 1) × π
    0.588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84767985895544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82751009} λ = 2.82751009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84767985895544))-π/2
    2×atan(6.34508094868816)-π/2
    2×1.41447968639908-π/2
    2.82895937279816-1.57079632675     		φ = 1.25816305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82751009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.004395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25816305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.087433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15565 KachelY 3374 2.82751009 1.25816305 162.004395 72.087433
    Oben rechts KachelX + 1 15566 KachelY 3374 2.82789358 1.25816305 162.026367 72.087433
    Unten links KachelX 15565 KachelY + 1 3375 2.82751009 1.25804507 162.004395 72.080673
    Unten rechts KachelX + 1 15566 KachelY + 1 3375 2.82789358 1.25804507 162.026367 72.080673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25816305-1.25804507) × R
    0.000117979999999962 × 6371000     		dl = 751.650579999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25816305-1.25804507) × R
    0.000117979999999962 × 6371000     		dr = 751.650579999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82751009-2.82789358) × cos(1.25816305) × R
    0.000383489999999931 × 0.307565333775778 × 6371000     		do = 751.448172372131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82751009-2.82789358) × cos(1.25804507) × R
    0.000383489999999931 × 0.307677592786325 × 6371000     		du = 751.722445247011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25816305)-sin(1.25804507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307565333775778-0.307677592786325)×R²
    abs(2.82789358-2.82751009)×0.000112259010547067×R²
    0.000383489999999931×0.000112259010547067×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112259010547067×40589641000000     		ar = 564929.533941195m²