Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15564 / 7290
↖ ↑ ↗
← N 70.162745°
W  9.008789°		 ← 414.56 m → N 70.162745°
W  8.997803°		 →
↑
414.56 m
↓
↑
414.56 m
↓
N 70.159017°
W  9.008789°		 ← 414.64 m →
171 877 m²		 N 70.159017°
W  8.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474990844726562 y=0.222488403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474990844726562 × 215)
    floor (0.474990844726562 × 32768)
    floor (15564.5)     		tx = 15564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222488403320312 × 215)
    floor (0.222488403320312 × 32768)
    floor (7290.5)     		ty = 7290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15564 / 7290 ti = "15/15564/7290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15564/7290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15564 ÷ 215
    15564 ÷ 32768     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7290 ÷ 215
    7290 ÷ 32768     		y = 0.22247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22247314453125 × 2 - 1) × π
    0.5550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74375266057916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74375266057916))-π/2
    2×atan(5.71876378527776)-π/2
    2×1.39768362502309-π/2
    2.79536725004618-1.57079632675     		φ = 1.22457092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22457092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.162745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15564 KachelY 7290 -0.15723303 1.22457092 -9.008789 70.162745
    Oben rechts KachelX + 1 15565 KachelY 7290 -0.15704128 1.22457092 -8.997803 70.162745
    Unten links KachelX 15564 KachelY + 1 7291 -0.15723303 1.22450585 -9.008789 70.159017
    Unten rechts KachelX + 1 15565 KachelY + 1 7291 -0.15704128 1.22450585 -8.997803 70.159017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22457092-1.22450585) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dl = 414.560970000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22457092-1.22450585) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dr = 414.560970000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15704128) × cos(1.22457092) × R
    0.000191749999999991 × 0.339349623291592 × 6371000     		do = 414.562819285703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15704128) × cos(1.22450585) × R
    0.000191749999999991 × 0.339410831339996 × 6371000     		du = 414.637593440049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22457092)-sin(1.22450585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339349623291592-0.339410831339996)×R²
    abs(-0.15704128--0.15723303)×6.12080484043154e-05×R²
    0.000191749999999991×6.12080484043154e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.12080484043154e-05×40589641000000     		ar = 171877.063773292m²