Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15564 / 18996
↖ ↑ ↗
← S 27.566721°
W  9.008789°		 ← 1 082.95 m → S 27.566721°
W  8.997803°		 →
↑
1 082.88 m
↓
↑
1 082.88 m
↓
S 27.576460°
W  9.008789°		 ← 1 082.85 m →
1 172 651 m²		 S 27.576460°
W  8.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474990844726562 y=0.579727172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474990844726562 × 215)
    floor (0.474990844726562 × 32768)
    floor (15564.5)     		tx = 15564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579727172851562 × 215)
    floor (0.579727172851562 × 32768)
    floor (18996.5)     		ty = 18996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15564 / 18996 ti = "15/15564/18996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15564/18996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15564 ÷ 215
    15564 ÷ 32768     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18996 ÷ 215
    18996 ÷ 32768     		y = 0.5797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.500844727230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.500844727230347))-π/2
    2×atan(0.606018523086664)-π/2
    2×0.544833136933428-π/2
    1.08966627386686-1.57079632675     		φ = -0.48113005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48113005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.566721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15564 KachelY 18996 -0.15723303 -0.48113005 -9.008789 -27.566721
    Oben rechts KachelX + 1 15565 KachelY 18996 -0.15704128 -0.48113005 -8.997803 -27.566721
    Unten links KachelX 15564 KachelY + 1 18997 -0.15723303 -0.48130002 -9.008789 -27.576460
    Unten rechts KachelX + 1 15565 KachelY + 1 18997 -0.15704128 -0.48130002 -8.997803 -27.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48113005--0.48130002) × R
    0.000169970000000019 × 6371000     		dl = 1082.87887000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48113005--0.48130002) × R
    0.000169970000000019 × 6371000     		dr = 1082.87887000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15704128) × cos(-0.48113005) × R
    0.000191749999999991 × 0.886472522981064 × 6371000     		do = 1082.94962812014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15704128) × cos(-0.48130002) × R
    0.000191749999999991 × 0.886393851250927 × 6371000     		du = 1082.85351964674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48113005)-sin(-0.48130002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886472522981064-0.886393851250927)×R²
    abs(-0.15704128--0.15723303)×7.86717301372031e-05×R²
    0.000191749999999991×7.86717301372031e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.86717301372031e-05×40589641000000     		ar = 1172651.23547117m²