Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15562 / 9948
↖ ↑ ↗
← N 57.539417°
W  9.030762°		 ← 655.68 m → N 57.539417°
W  9.019775°		 →
↑
655.70 m
↓
↑
655.70 m
↓
N 57.533520°
W  9.030762°		 ← 655.78 m →
429 965 m²		 N 57.533520°
W  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474929809570312 y=0.303604125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474929809570312 × 215)
    floor (0.474929809570312 × 32768)
    floor (15562.5)     		tx = 15562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303604125976562 × 215)
    floor (0.303604125976562 × 32768)
    floor (9948.5)     		ty = 9948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15562 / 9948 ti = "15/15562/9948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15562/9948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15562 ÷ 215
    15562 ÷ 32768     		x = 0.47491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9948 ÷ 215
    9948 ÷ 32768     		y = 0.3035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15761653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    0.392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23408754381873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15761653} λ = -0.15761653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23408754381873))-π/2
    2×atan(3.4352425818913)-π/2
    2×1.28752429975844-π/2
    2.57504859951687-1.57079632675     		φ = 1.00425227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15761653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00425227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.539417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15562 KachelY 9948 -0.15761653 1.00425227 -9.030762 57.539417
    Oben rechts KachelX + 1 15563 KachelY 9948 -0.15742478 1.00425227 -9.019775 57.539417
    Unten links KachelX 15562 KachelY + 1 9949 -0.15761653 1.00414935 -9.030762 57.533520
    Unten rechts KachelX + 1 15563 KachelY + 1 9949 -0.15742478 1.00414935 -9.019775 57.533520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00425227-1.00414935) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dl = 655.70332000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00425227-1.00414935) × R
    0.000102920000000006 × 6371000     		dr = 655.70332000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15761653--0.15742478) × cos(1.00425227) × R
    0.000191750000000018 × 0.536719270015031 × 6371000     		do = 655.677326481772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15761653--0.15742478) × cos(1.00414935) × R
    0.000191750000000018 × 0.536806107042198 × 6371000     		du = 655.783410002513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00425227)-sin(1.00414935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536719270015031-0.536806107042198)×R²
    abs(-0.15742478--0.15761653)×8.68370271669416e-05×R²
    0.000191750000000018×8.68370271669416e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.68370271669416e-05×40589641000000     		ar = 429964.579861408m²