Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1556 / 1844
↖ ↑ ↗
← N 17.644022°
W 43.242188°		 ← 9 313.25 m → N 17.644022°
W 43.154297°		 →
↑
9 315.42 m
↓
↑
9 315.42 m
↓
N 17.560247°
W 43.242188°		 ← 9 317.57 m →
86 776 957 m²		 N 17.560247°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3800048828125 y=0.4503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3800048828125 × 212)
    floor (0.3800048828125 × 4096)
    floor (1556.5)     		tx = 1556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4503173828125 × 212)
    floor (0.4503173828125 × 4096)
    floor (1844.5)     		ty = 1844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1556 / 1844 ti = "12/1556/1844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1556/1844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1556 ÷ 212
    1556 ÷ 4096     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1844 ÷ 212
    1844 ÷ 4096     		y = 0.4501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    0.099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312932080719727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312932080719727))-π/2
    2×atan(1.3674286531036)-π/2
    2×0.939371302233579-π/2
    1.87874260446716-1.57079632675     		φ = 0.30794628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30794628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.644022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1556 KachelY 1844 -0.75471855 0.30794628 -43.242188 17.644022
    Oben rechts KachelX + 1 1557 KachelY 1844 -0.75318457 0.30794628 -43.154297 17.644022
    Unten links KachelX 1556 KachelY + 1 1845 -0.75471855 0.30648412 -43.242188 17.560247
    Unten rechts KachelX + 1 1557 KachelY + 1 1845 -0.75318457 0.30648412 -43.154297 17.560247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30794628-0.30648412) × R
    0.00146215999999999 × 6371000     		dl = 9315.42135999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30794628-0.30648412) × R
    0.00146215999999999 × 6371000     		dr = 9315.42135999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.30794628) × R
    0.00153397999999993 × 0.952958066108848 × 6371000     		do = 9313.24639138413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.30648412) × R
    0.00153397999999993 × 0.95340023114688 × 6371000     		du = 9317.56766436696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30794628)-sin(0.30648412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952958066108848-0.95340023114688)×R²
    abs(-0.75318457--0.75471855)×0.000442165038031406×R²
    0.00153397999999993×0.000442165038031406×6371000²
    0.00153397999999993×0.000442165038031406×40589641000000     		ar = 86776957.0646923m²