Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1556 / 1820
↖ ↑ ↗
← N 19.642588°
W 43.242188°		 ← 9 204.28 m → N 19.642588°
W 43.154297°		 →
↑
9 206.67 m
↓
↑
9 206.67 m
↓
N 19.559790°
W 43.242188°		 ← 9 209.01 m →
84 762 537 m²		 N 19.559790°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3800048828125 y=0.4444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3800048828125 × 212)
    floor (0.3800048828125 × 4096)
    floor (1556.5)     		tx = 1556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4444580078125 × 212)
    floor (0.4444580078125 × 4096)
    floor (1820.5)     		ty = 1820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1556 / 1820 ti = "12/1556/1820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1556/1820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1556 ÷ 212
    1556 ÷ 4096     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1820 ÷ 212
    1820 ÷ 4096     		y = 0.4443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34974761962793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34974761962793))-π/2
    2×atan(1.41870944898791)-π/2
    2×0.956812076432601-π/2
    1.9136241528652-1.57079632675     		φ = 0.34282783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34282783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.642588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1556 KachelY 1820 -0.75471855 0.34282783 -43.242188 19.642588
    Oben rechts KachelX + 1 1557 KachelY 1820 -0.75318457 0.34282783 -43.154297 19.642588
    Unten links KachelX 1556 KachelY + 1 1821 -0.75471855 0.34138274 -43.242188 19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 1557 KachelY + 1 1821 -0.75318457 0.34138274 -43.154297 19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34282783-0.34138274) × R
    0.00144508999999998 × 6371000     		dl = 9206.66838999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34282783-0.34138274) × R
    0.00144508999999998 × 6371000     		dr = 9206.66838999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.34282783) × R
    0.00153397999999993 × 0.941807852557362 × 6371000     		do = 9204.27550398133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75318457) × cos(0.34138274) × R
    0.00153397999999993 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 9209.01331024243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34282783)-sin(0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941807852557362-0.942292638474371)×R²
    abs(-0.75318457--0.75471855)×0.000484785917008956×R²
    0.00153397999999993×0.000484785917008956×6371000²
    0.00153397999999993×0.000484785917008956×40589641000000     		ar = 84762536.7916242m²