Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1556 / 1575
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E 93.515625°		 ← 6 972.81 m → S 69.099940°
E 93.691406°		 →
↑
6 962.80 m
↓
↑
6 962.80 m
↓
S 69.162558°
E 93.515625°		 ← 6 952.85 m →
48 480 816 m²		 S 69.162558°
E 93.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760009765625 y=0.769287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760009765625 × 211)
    floor (0.760009765625 × 2048)
    floor (1556.5)     		tx = 1556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769287109375 × 211)
    floor (0.769287109375 × 2048)
    floor (1575.5)     		ty = 1575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1556 / 1575 ti = "11/1556/1575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1556/1575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1556 ÷ 211
    1556 ÷ 2048     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1575 ÷ 211
    1575 ÷ 2048     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1556 KachelY 1575 1.63215556 -1.20602146 93.515625 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 1557 KachelY 1575 1.63522352 -1.20602146 93.691406 -69.099940
    Unten links KachelX 1556 KachelY + 1 1576 1.63215556 -1.20711435 93.515625 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 1557 KachelY + 1 1576 1.63522352 -1.20711435 93.691406 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20711435) × R
    0.00109288999999979 × 6371000     		dl = 6962.80218999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20711435) × R
    0.00109288999999979 × 6371000     		dr = 6962.80218999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63522352) × cos(-1.20602146) × R
    0.00306796000000009 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 6972.81058990076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63522352) × cos(-1.20711435) × R
    0.00306796000000009 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 6952.85033670972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.355717787996262)×R²
    abs(1.63522352-1.63215556)×0.00102119516013122×R²
    0.00306796000000009×0.00102119516013122×6371000²
    0.00306796000000009×0.00102119516013122×40589641000000     		ar = 48480816.0239818m²