Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15559 / 8771
↖ ↑ ↗
← N 63.845512°
W  9.063721°		 ← 538.49 m → N 63.845512°
W  9.052734°		 →
↑
538.54 m
↓
↑
538.54 m
↓
N 63.840668°
W  9.063721°		 ← 538.58 m →
290 024 m²		 N 63.840668°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474838256835938 y=0.267684936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474838256835938 × 215)
    floor (0.474838256835938 × 32768)
    floor (15559.5)     		tx = 15559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267684936523438 × 215)
    floor (0.267684936523438 × 32768)
    floor (8771.5)     		ty = 8771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15559 / 8771 ti = "15/15559/8771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15559/8771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15559 ÷ 215
    15559 ÷ 32768     		x = 0.474822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8771 ÷ 215
    8771 ÷ 32768     		y = 0.267669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.05035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15819177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267669677734375 × 2 - 1) × π
    0.46466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45977446722995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15819177} λ = -0.15819177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45977446722995))-π/2
    2×atan(4.3049885028682)-π/2
    2×1.34255535802551-π/2
    2.68511071605102-1.57079632675     		φ = 1.11431439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15819177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11431439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.845512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15559 KachelY 8771 -0.15819177 1.11431439 -9.063721 63.845512
    Oben rechts KachelX + 1 15560 KachelY 8771 -0.15800002 1.11431439 -9.052734 63.845512
    Unten links KachelX 15559 KachelY + 1 8772 -0.15819177 1.11422986 -9.063721 63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 15560 KachelY + 1 8772 -0.15800002 1.11422986 -9.052734 63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11431439-1.11422986) × R
    8.45300000000826e-05 × 6371000     		dl = 538.540630000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11431439-1.11422986) × R
    8.45300000000826e-05 × 6371000     		dr = 538.540630000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15819177--0.15800002) × cos(1.11431439) × R
    0.000191750000000018 × 0.440792996828134 × 6371000     		do = 538.490026050425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15819177--0.15800002) × cos(1.11422986) × R
    0.000191750000000018 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 538.582715846657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11431439)-sin(1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440792996828134-0.440868870123979)×R²
    abs(-0.15800002--0.15819177)×7.58732958450747e-05×R²
    0.000191750000000018×7.58732958450747e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.58732958450747e-05×40589641000000     		ar = 290023.716661295m²