Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15559 / 8481
↖ ↑ ↗
← N 65.215289°
W  9.063721°		 ← 512.12 m → N 65.215289°
W  9.052734°		 →
↑
512.16 m
↓
↑
512.16 m
↓
N 65.210683°
W  9.063721°		 ← 512.21 m →
262 314 m²		 N 65.210683°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474838256835938 y=0.258834838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474838256835938 × 215)
    floor (0.474838256835938 × 32768)
    floor (15559.5)     		tx = 15559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258834838867188 × 215)
    floor (0.258834838867188 × 32768)
    floor (8481.5)     		ty = 8481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15559 / 8481 ti = "15/15559/8481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15559/8481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15559 ÷ 215
    15559 ÷ 32768     		x = 0.474822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8481 ÷ 215
    8481 ÷ 32768     		y = 0.258819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.05035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15819177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258819580078125 × 2 - 1) × π
    0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15819177} λ = -0.15819177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51538127078922))-π/2
    2×atan(4.55115601893997)-π/2
    2×1.35450891914032-π/2
    2.70901783828064-1.57079632675     		φ = 1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15819177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15559 KachelY 8481 -0.15819177 1.13822151 -9.063721 65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 15560 KachelY 8481 -0.15800002 1.13822151 -9.052734 65.215289
    Unten links KachelX 15559 KachelY + 1 8482 -0.15819177 1.13814112 -9.063721 65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 15560 KachelY + 1 8482 -0.15800002 1.13814112 -9.052734 65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13822151-1.13814112) × R
    8.03899999999302e-05 × 6371000     		dl = 512.164689999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13822151-1.13814112) × R
    8.03899999999302e-05 × 6371000     		dr = 512.164689999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15819177--0.15800002) × cos(1.13822151) × R
    0.000191750000000018 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 512.123192406882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15819177--0.15800002) × cos(1.13814112) × R
    0.000191750000000018 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 512.212352369462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13822151)-sin(1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419282822133796)×R²
    abs(-0.15800002--0.15819177)×7.29838719409903e-05×R²
    0.000191750000000018×7.29838719409903e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.29838719409903e-05×40589641000000     		ar = 262314.24851429m²