Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15558 / 7370
↖ ↑ ↗
← N 79.987622°
W 94.537353°		 ← 106.19 m → N 79.987622°
W 94.531860°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 79.986667°
W 94.537353°		 ← 106.20 m →
11 279 m²		 N 79.986667°
W 94.531860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.237403869628906 y=0.112464904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.237403869628906 × 216)
    floor (0.237403869628906 × 65536)
    floor (15558.5)     		tx = 15558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112464904785156 × 216)
    floor (0.112464904785156 × 65536)
    floor (7370.5)     		ty = 7370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15558 / 7370 ti = "16/15558/7370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15558/7370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15558 ÷ 216
    15558 ÷ 65536     		x = 0.237396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7370 ÷ 216
    7370 ÷ 65536     		y = 0.112457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.237396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.52520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.64998808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112457275390625 × 2 - 1) × π
    0.77508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43500275310037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64998808} λ = -1.64998808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43500275310037))-π/2
    2×atan(11.415850142305)-π/2
    2×1.48342184963926-π/2
    2.96684369927853-1.57079632675     		φ = 1.39604737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64998808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.537353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39604737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.987622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15558 KachelY 7370 -1.64998808 1.39604737 -94.537353 79.987622
    Oben rechts KachelX + 1 15559 KachelY 7370 -1.64989221 1.39604737 -94.531860 79.987622
    Unten links KachelX 15558 KachelY + 1 7371 -1.64998808 1.39603070 -94.537353 79.986667
    Unten rechts KachelX + 1 15559 KachelY + 1 7371 -1.64989221 1.39603070 -94.531860 79.986667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39604737-1.39603070) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39604737-1.39603070) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64998808--1.64989221) × cos(1.39604737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173860923203334 × 6371000     		do = 106.192125573503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64998808--1.64989221) × cos(1.39603070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173877339298686 × 6371000     		du = 106.202152323775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39604737)-sin(1.39603070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173860923203334-0.173877339298686)×R²
    abs(-1.64989221--1.64998808)×1.64160953518844e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64160953518844e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64160953518844e-05×40589641000000     		ar = 11278.6214776417m²