Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15557 / 3383
↖ ↑ ↗
← N 72.026510°
E161.828614°		 ← 753.92 m → N 72.026510°
E161.850586°		 →
↑
754.07 m
↓
↑
754.07 m
↓
N 72.019729°
E161.828614°		 ← 754.19 m →
568 613 m²		 N 72.019729°
E161.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949554443359375 y=0.206512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949554443359375 × 214)
    floor (0.949554443359375 × 16384)
    floor (15557.5)     		tx = 15557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206512451171875 × 214)
    floor (0.206512451171875 × 16384)
    floor (3383.5)     		ty = 3383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15557 / 3383 ti = "14/15557/3383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15557/3383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15557 ÷ 214
    15557 ÷ 16384     		x = 0.94952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3383 ÷ 214
    3383 ÷ 16384     		y = 0.20648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94952392578125 × 2 - 1) × π
    0.8990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82444213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20648193359375 × 2 - 1) × π
    0.5870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8442284021828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82444213} λ = 2.82444213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8442284021828))-π/2
    2×atan(6.32321892569121)-π/2
    2×1.41394803973835-π/2
    2.8278960794767-1.57079632675     		φ = 1.25709975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82444213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.828614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25709975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.026510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15557 KachelY 3383 2.82444213 1.25709975 161.828614 72.026510
    Oben rechts KachelX + 1 15558 KachelY 3383 2.82482562 1.25709975 161.850586 72.026510
    Unten links KachelX 15557 KachelY + 1 3384 2.82444213 1.25698139 161.828614 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 15558 KachelY + 1 3384 2.82482562 1.25698139 161.850586 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25709975-1.25698139) × R
    0.000118360000000095 × 6371000     		dl = 754.071560000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25709975-1.25698139) × R
    0.000118360000000095 × 6371000     		dr = 754.071560000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82444213-2.82482562) × cos(1.25709975) × R
    0.000383489999999931 × 0.308576918339474 × 6371000     		do = 753.91969073949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82444213-2.82482562) × cos(1.25698139) × R
    0.000383489999999931 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 754.194752254586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25709975)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308576918339474-0.30868950013794)×R²
    abs(2.82482562-2.82444213)×0.000112581798465849×R²
    0.000383489999999931×0.000112581798465849×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112581798465849×40589641000000     		ar = 568613.106008689m²