Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15555 / 6471
↖ ↑ ↗
← N 73.000121°
W  9.107666°		 ← 357.17 m → N 73.000121°
W  9.096680°		 →
↑
357.16 m
↓
↑
357.16 m
↓
N 72.996909°
W  9.107666°		 ← 357.24 m →
127 578 m²		 N 72.996909°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474716186523438 y=0.197494506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474716186523438 × 215)
    floor (0.474716186523438 × 32768)
    floor (15555.5)     		tx = 15555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197494506835938 × 215)
    floor (0.197494506835938 × 32768)
    floor (6471.5)     		ty = 6471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15555 / 6471 ti = "15/15555/6471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15555/6471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15555 ÷ 215
    15555 ÷ 32768     		x = 0.474700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6471 ÷ 215
    6471 ÷ 32768     		y = 0.197479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197479248046875 × 2 - 1) × π
    0.60504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90079394373447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15895876} λ = -0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90079394373447))-π/2
    2×atan(6.6912047740544)-π/2
    2×1.42244440075829-π/2
    2.84488880151658-1.57079632675     		φ = 1.27409247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27409247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.000121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15555 KachelY 6471 -0.15895876 1.27409247 -9.107666 73.000121
    Oben rechts KachelX + 1 15556 KachelY 6471 -0.15876701 1.27409247 -9.096680 73.000121
    Unten links KachelX 15555 KachelY + 1 6472 -0.15895876 1.27403641 -9.107666 72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 15556 KachelY + 1 6472 -0.15876701 1.27403641 -9.096680 72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27409247-1.27403641) × R
    5.60600000001354e-05 × 6371000     		dl = 357.158260000863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27409247-1.27403641) × R
    5.60600000001354e-05 × 6371000     		dr = 357.158260000863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15895876--0.15876701) × cos(1.27409247) × R
    0.000191750000000018 × 0.292369681139008 × 6371000     		do = 357.170277989431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15895876--0.15876701) × cos(1.27403641) × R
    0.000191750000000018 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 357.235770093879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27409247)-sin(1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292369681139008-0.292423291158863)×R²
    abs(-0.15876701--0.15895876)×5.36100198553768e-05×R²
    0.000191750000000018×5.36100198553768e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.36100198553768e-05×40589641000000     		ar = 127578.010567169m²