Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15554 / 9922
↖ ↑ ↗
← N 57.692406°
W  9.118653°		 ← 652.92 m → N 57.692406°
W  9.107666°		 →
↑
652.96 m
↓
↑
652.96 m
↓
N 57.686533°
W  9.118653°		 ← 653.03 m →
426 369 m²		 N 57.686533°
W  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474685668945312 y=0.302810668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474685668945312 × 215)
    floor (0.474685668945312 × 32768)
    floor (15554.5)     		tx = 15554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302810668945312 × 215)
    floor (0.302810668945312 × 32768)
    floor (9922.5)     		ty = 9922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15554 / 9922 ti = "15/15554/9922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15554/9922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15554 ÷ 215
    15554 ÷ 32768     		x = 0.47467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9922 ÷ 215
    9922 ÷ 32768     		y = 0.30279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30279541015625 × 2 - 1) × π
    0.3944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23907298137921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15915051} λ = -0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23907298137921))-π/2
    2×atan(3.45241153108996)-π/2
    2×1.28885937838107-π/2
    2.57771875676214-1.57079632675     		φ = 1.00692243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00692243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.692406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15554 KachelY 9922 -0.15915051 1.00692243 -9.118653 57.692406
    Oben rechts KachelX + 1 15555 KachelY 9922 -0.15895876 1.00692243 -9.107666 57.692406
    Unten links KachelX 15554 KachelY + 1 9923 -0.15915051 1.00681994 -9.118653 57.686533
    Unten rechts KachelX + 1 15555 KachelY + 1 9923 -0.15895876 1.00681994 -9.107666 57.686533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00692243-1.00681994) × R
    0.000102489999999955 × 6371000     		dl = 652.963789999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00692243-1.00681994) × R
    0.000102489999999955 × 6371000     		dr = 652.963789999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.00692243) × R
    0.000191749999999991 × 0.534464382799649 × 6371000     		do = 652.922667755044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.00681994) × R
    0.000191749999999991 × 0.534551003617848 × 6371000     		du = 653.028487146422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00692243)-sin(1.00681994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534464382799649-0.534551003617848)×R²
    abs(-0.15895876--0.15915051)×8.66208181983241e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66208181983241e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66208181983241e-05×40589641000000     		ar = 426369.408202815m²