Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15554 / 9596
↖ ↑ ↗
← N 59.556592°
W  9.118653°		 ← 618.99 m → N 59.556592°
W  9.107666°		 →
↑
619.01 m
↓
↑
619.01 m
↓
N 59.551025°
W  9.118653°		 ← 619.09 m →
383 190 m²		 N 59.551025°
W  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474685668945312 y=0.292861938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474685668945312 × 215)
    floor (0.474685668945312 × 32768)
    floor (15554.5)     		tx = 15554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292861938476562 × 215)
    floor (0.292861938476562 × 32768)
    floor (9596.5)     		ty = 9596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15554 / 9596 ti = "15/15554/9596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15554/9596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15554 ÷ 215
    15554 ÷ 32768     		x = 0.47467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9596 ÷ 215
    9596 ÷ 32768     		y = 0.2928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2928466796875 × 2 - 1) × π
    0.414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30158269848376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15915051} λ = -0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30158269848376))-π/2
    2×atan(3.67510865599094)-π/2
    2×1.30512747322387-π/2
    2.61025494644773-1.57079632675     		φ = 1.03945862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03945862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.556592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15554 KachelY 9596 -0.15915051 1.03945862 -9.118653 59.556592
    Oben rechts KachelX + 1 15555 KachelY 9596 -0.15895876 1.03945862 -9.107666 59.556592
    Unten links KachelX 15554 KachelY + 1 9597 -0.15915051 1.03936146 -9.118653 59.551025
    Unten rechts KachelX + 1 15555 KachelY + 1 9597 -0.15895876 1.03936146 -9.107666 59.551025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03945862-1.03936146) × R
    9.71599999999295e-05 × 6371000     		dl = 619.006359999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03945862-1.03936146) × R
    9.71599999999295e-05 × 6371000     		dr = 619.006359999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.03945862) × R
    0.000191749999999991 × 0.506687071425887 × 6371000     		do = 618.988813921387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.03936146) × R
    0.000191749999999991 × 0.506770833589188 × 6371000     		du = 619.09114106774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03945862)-sin(1.03936146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506687071425887-0.506770833589188)×R²
    abs(-0.15895876--0.15915051)×8.3762163300638e-05×R²
    0.000191749999999991×8.3762163300638e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.3762163300638e-05×40589641000000     		ar = 383189.683465m²