Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15554 / 9590
↖ ↑ ↗
← N 59.589975°
W  9.118653°		 ← 618.38 m → N 59.589975°
W  9.107666°		 →
↑
618.43 m
↓
↑
618.43 m
↓
N 59.584414°
W  9.118653°		 ← 618.48 m →
382 455 m²		 N 59.584414°
W  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474685668945312 y=0.292678833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474685668945312 × 215)
    floor (0.474685668945312 × 32768)
    floor (15554.5)     		tx = 15554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292678833007812 × 215)
    floor (0.292678833007812 × 32768)
    floor (9590.5)     		ty = 9590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15554 / 9590 ti = "15/15554/9590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15554/9590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15554 ÷ 215
    15554 ÷ 32768     		x = 0.47467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9590 ÷ 215
    9590 ÷ 32768     		y = 0.29266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29266357421875 × 2 - 1) × π
    0.4146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30273318407465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15915051} λ = -0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30273318407465))-π/2
    2×atan(3.67933924869591)-π/2
    2×1.30541879679375-π/2
    2.6108375935875-1.57079632675     		φ = 1.04004127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04004127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.589975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15554 KachelY 9590 -0.15915051 1.04004127 -9.118653 59.589975
    Oben rechts KachelX + 1 15555 KachelY 9590 -0.15895876 1.04004127 -9.107666 59.589975
    Unten links KachelX 15554 KachelY + 1 9591 -0.15915051 1.03994420 -9.118653 59.584414
    Unten rechts KachelX + 1 15555 KachelY + 1 9591 -0.15895876 1.03994420 -9.107666 59.584414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04004127-1.03994420) × R
    9.70699999998104e-05 × 6371000     		dl = 618.432969998792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04004127-1.03994420) × R
    9.70699999998104e-05 × 6371000     		dr = 618.432969998792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.04004127) × R
    0.000191749999999991 × 0.50618466537923 × 6371000     		do = 618.375054975353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15915051--0.15895876) × cos(1.03994420) × R
    0.000191749999999991 × 0.50626837860054 × 6371000     		du = 618.477322332249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04004127)-sin(1.03994420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50618466537923-0.50626837860054)×R²
    abs(-0.15895876--0.15915051)×8.37132213099556e-05×R²
    0.000191749999999991×8.37132213099556e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.37132213099556e-05×40589641000000     		ar = 382455.144874306m²