Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15554 / 21441
↖ ↑ ↗
← N 76.226254°
W137.279663°		 ← 72.72 m → N 76.226254°
W137.276917°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.225600°
W137.279663°		 ← 72.72 m →
5 286 m²		 N 76.225600°
W137.276917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118671417236328 y=0.163585662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118671417236328 × 217)
    floor (0.118671417236328 × 131072)
    floor (15554.5)     		tx = 15554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163585662841797 × 217)
    floor (0.163585662841797 × 131072)
    floor (21441.5)     		ty = 21441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15554 / 21441 ti = "17/15554/21441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15554/21441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15554 ÷ 217
    15554 ÷ 131072     		x = 0.118667602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21441 ÷ 217
    21441 ÷ 131072     		y = 0.163581848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.762664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39598212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163581848144531 × 2 - 1) × π
    0.672836303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11377758874638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39598212} λ = -2.39598212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11377758874638))-π/2
    2×atan(8.27945867418748)-π/2
    2×1.45059771333935-π/2
    2.90119542667871-1.57079632675     		φ = 1.33039910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39598212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.279663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33039910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.226254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15554 KachelY 21441 -2.39598212 1.33039910 -137.279663 76.226254
    Oben rechts KachelX + 1 15555 KachelY 21441 -2.39593418 1.33039910 -137.276917 76.226254
    Unten links KachelX 15554 KachelY + 1 21442 -2.39598212 1.33038769 -137.279663 76.225600
    Unten rechts KachelX + 1 15555 KachelY + 1 21442 -2.39593418 1.33038769 -137.276917 76.225600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33039910-1.33038769) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dl = 72.6931099995793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33039910-1.33038769) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dr = 72.6931099995793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39598212--2.39593418) × cos(1.33039910) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.238088449134055 × 6371000     		do = 72.718340762847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39598212--2.39593418) × cos(1.33038769) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.238099531006622 × 6371000     		du = 72.7217254519764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33039910)-sin(1.33038769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238088449134055-0.238099531006622)×R²
    abs(-2.39593418--2.39598212)×1.10818725669315e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.10818725669315e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.10818725669315e-05×40589641000000     		ar = 5286.24536605666m²