Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15553 / 9918
↖ ↑ ↗
← N 57.715885°
W  9.129638°		 ← 652.47 m → N 57.715885°
W  9.118653°		 →
↑
652.58 m
↓
↑
652.58 m
↓
N 57.710017°
W  9.129638°		 ← 652.57 m →
425 821 m²		 N 57.710017°
W  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474655151367188 y=0.302688598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474655151367188 × 215)
    floor (0.474655151367188 × 32768)
    floor (15553.5)     		tx = 15553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302688598632812 × 215)
    floor (0.302688598632812 × 32768)
    floor (9918.5)     		ty = 9918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15553 / 9918 ti = "15/15553/9918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15553/9918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15553 ÷ 215
    15553 ÷ 32768     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9918 ÷ 215
    9918 ÷ 32768     		y = 0.30267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30267333984375 × 2 - 1) × π
    0.3946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23983997177313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23983997177313))-π/2
    2×atan(3.45506051331227)-π/2
    2×1.28906427647897-π/2
    2.57812855295795-1.57079632675     		φ = 1.00733223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00733223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.715885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15553 KachelY 9918 -0.15934225 1.00733223 -9.129638 57.715885
    Oben rechts KachelX + 1 15554 KachelY 9918 -0.15915051 1.00733223 -9.118653 57.715885
    Unten links KachelX 15553 KachelY + 1 9919 -0.15934225 1.00722980 -9.129638 57.710017
    Unten rechts KachelX + 1 15554 KachelY + 1 9919 -0.15915051 1.00722980 -9.118653 57.710017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00733223-1.00722980) × R
    0.000102430000000098 × 6371000     		dl = 652.581530000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00733223-1.00722980) × R
    0.000102430000000098 × 6371000     		dr = 652.581530000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(1.00733223) × R
    0.000191739999999996 × 0.534117978660346 × 6371000     		do = 652.465458205707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(1.00722980) × R
    0.000191739999999996 × 0.534204571199495 × 6371000     		du = 652.571237533478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00733223)-sin(1.00722980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534117978660346-0.534204571199495)×R²
    abs(-0.15915051--0.15934225)×8.65925391491107e-05×R²
    0.000191739999999996×8.65925391491107e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.65925391491107e-05×40589641000000     		ar = 425821.422178167m²