Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15553 / 3399
↖ ↑ ↗
← N 71.917709°
E161.740722°		 ← 758.35 m → N 71.917709°
E161.762695°		 →
↑
758.47 m
↓
↑
758.47 m
↓
N 71.910888°
E161.740722°		 ← 758.63 m →
575 290 m²		 N 71.910888°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949310302734375 y=0.207489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949310302734375 × 214)
    floor (0.949310302734375 × 16384)
    floor (15553.5)     		tx = 15553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207489013671875 × 214)
    floor (0.207489013671875 × 16384)
    floor (3399.5)     		ty = 3399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15553 / 3399 ti = "14/15553/3399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15553/3399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15553 ÷ 214
    15553 ÷ 16384     		x = 0.94927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3399 ÷ 214
    3399 ÷ 16384     		y = 0.20745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94927978515625 × 2 - 1) × π
    0.8985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82290814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20745849609375 × 2 - 1) × π
    0.5850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83809247903143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82290814} λ = 2.82290814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83809247903143))-π/2
    2×atan(6.2845389303902)-π/2
    2×1.41299857009766-π/2
    2.82599714019531-1.57079632675     		φ = 1.25520081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82290814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25520081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.917709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15553 KachelY 3399 2.82290814 1.25520081 161.740722 71.917709
    Oben rechts KachelX + 1 15554 KachelY 3399 2.82329164 1.25520081 161.762695 71.917709
    Unten links KachelX 15553 KachelY + 1 3400 2.82290814 1.25508176 161.740722 71.910888
    Unten rechts KachelX + 1 15554 KachelY + 1 3400 2.82329164 1.25508176 161.762695 71.910888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25520081-1.25508176) × R
    0.00011905000000012 × 6371000     		dl = 758.467550000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25520081-1.25508176) × R
    0.00011905000000012 × 6371000     		dr = 758.467550000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82290814-2.82329164) × cos(1.25520081) × R
    0.00038349999999987 × 0.310382631469612 × 6371000     		do = 758.351210242869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82290814-2.82329164) × cos(1.25508176) × R
    0.00038349999999987 × 0.310495799593839 × 6371000     		du = 758.627711487679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25520081)-sin(1.25508176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310382631469612-0.310495799593839)×R²
    abs(2.82329164-2.82290814)×0.000113168124227569×R²
    0.00038349999999987×0.000113168124227569×6371000²
    0.00038349999999987×0.000113168124227569×40589641000000     		ar = 575289.643763645m²