Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15553 / 3393
↖ ↑ ↗
← N 71.958584°
E161.740722°		 ← 756.69 m → N 71.958584°
E161.762695°		 →
↑
756.81 m
↓
↑
756.81 m
↓
N 71.951777°
E161.740722°		 ← 756.97 m →
572 779 m²		 N 71.951777°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949310302734375 y=0.207122802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949310302734375 × 214)
    floor (0.949310302734375 × 16384)
    floor (15553.5)     		tx = 15553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207122802734375 × 214)
    floor (0.207122802734375 × 16384)
    floor (3393.5)     		ty = 3393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15553 / 3393 ti = "14/15553/3393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15553/3393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15553 ÷ 214
    15553 ÷ 16384     		x = 0.94927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3393 ÷ 214
    3393 ÷ 16384     		y = 0.20709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94927978515625 × 2 - 1) × π
    0.8985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82290814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20709228515625 × 2 - 1) × π
    0.5858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8403934502132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82290814} λ = 2.82290814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8403934502132))-π/2
    2×atan(6.2990161227735)-π/2
    2×1.41335527055575-π/2
    2.82671054111149-1.57079632675     		φ = 1.25591421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82290814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25591421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.958584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15553 KachelY 3393 2.82290814 1.25591421 161.740722 71.958584
    Oben rechts KachelX + 1 15554 KachelY 3393 2.82329164 1.25591421 161.762695 71.958584
    Unten links KachelX 15553 KachelY + 1 3394 2.82290814 1.25579542 161.740722 71.951777
    Unten rechts KachelX + 1 15554 KachelY + 1 3394 2.82329164 1.25579542 161.762695 71.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25591421-1.25579542) × R
    0.000118789999999924 × 6371000     		dl = 756.811089999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25591421-1.25579542) × R
    0.000118789999999924 × 6371000     		dr = 756.811089999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82290814-2.82329164) × cos(1.25591421) × R
    0.00038349999999987 × 0.309704386150641 × 6371000     		do = 756.694068037302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82290814-2.82329164) × cos(1.25579542) × R
    0.00038349999999987 × 0.30981733340478 × 6371000     		du = 756.970029634973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25591421)-sin(1.25579542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309704386150641-0.30981733340478)×R²
    abs(2.82329164-2.82290814)×0.00011294725413874×R²
    0.00038349999999987×0.00011294725413874×6371000²
    0.00038349999999987×0.00011294725413874×40589641000000     		ar = 572778.888500141m²