Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15553 / 19135
↖ ↑ ↗
← S 28.912015°
W  9.129638°		 ← 1 069.32 m → S 28.912015°
W  9.118653°		 →
↑
1 069.31 m
↓
↑
1 069.31 m
↓
S 28.921631°
W  9.129638°		 ← 1 069.22 m →
1 143 382 m²		 S 28.921631°
W  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474655151367188 y=0.583969116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474655151367188 × 215)
    floor (0.474655151367188 × 32768)
    floor (15553.5)     		tx = 15553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583969116210938 × 215)
    floor (0.583969116210938 × 32768)
    floor (19135.5)     		ty = 19135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15553 / 19135 ti = "15/15553/19135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15553/19135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15553 ÷ 215
    15553 ÷ 32768     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19135 ÷ 215
    19135 ÷ 32768     		y = 0.583953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.16790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.527497643419098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527497643419098))-π/2
    2×atan(0.590079713595811)-π/2
    2×0.53309323844309-π/2
    1.06618647688618-1.57079632675     		φ = -0.50460985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50460985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.912015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15553 KachelY 19135 -0.15934225 -0.50460985 -9.129638 -28.912015
    Oben rechts KachelX + 1 15554 KachelY 19135 -0.15915051 -0.50460985 -9.118653 -28.912015
    Unten links KachelX 15553 KachelY + 1 19136 -0.15934225 -0.50477769 -9.129638 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 15554 KachelY + 1 19136 -0.15915051 -0.50477769 -9.118653 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50460985--0.50477769) × R
    0.000167839999999919 × 6371000     		dl = 1069.30863999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50460985--0.50477769) × R
    0.000167839999999919 × 6371000     		dr = 1069.30863999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(-0.50460985) × R
    0.000191739999999996 × 0.87536316528603 × 6371000     		do = 1069.32223133037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(-0.50477769) × R
    0.000191739999999996 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 1069.22309161279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50460985)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87536316528603-0.875282008031053)×R²
    abs(-0.15915051--0.15934225)×8.11572549765938e-05×R²
    0.000191739999999996×8.11572549765938e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.11572549765938e-05×40589641000000     		ar = 1143382.49811062m²