Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15553 / 18881
↖ ↑ ↗
← S 26.441065°
W  9.129638°		 ← 1 093.79 m → S 26.441065°
W  9.118653°		 →
↑
1 093.77 m
↓
↑
1 093.77 m
↓
S 26.450902°
W  9.129638°		 ← 1 093.70 m →
1 196 307 m²		 S 26.450902°
W  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474655151367188 y=0.576217651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474655151367188 × 215)
    floor (0.474655151367188 × 32768)
    floor (15553.5)     		tx = 15553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576217651367188 × 215)
    floor (0.576217651367188 × 32768)
    floor (18881.5)     		ty = 18881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15553 / 18881 ti = "15/15553/18881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15553/18881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15553 ÷ 215
    15553 ÷ 32768     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18881 ÷ 215
    18881 ÷ 32768     		y = 0.576202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.15240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.478793753405121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478793753405121))-π/2
    2×atan(0.619530247520998)-π/2
    2×0.554656337489494-π/2
    1.10931267497899-1.57079632675     		φ = -0.46148365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46148365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.441065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15553 KachelY 18881 -0.15934225 -0.46148365 -9.129638 -26.441065
    Oben rechts KachelX + 1 15554 KachelY 18881 -0.15915051 -0.46148365 -9.118653 -26.441065
    Unten links KachelX 15553 KachelY + 1 18882 -0.15934225 -0.46165533 -9.129638 -26.450902
    Unten rechts KachelX + 1 15554 KachelY + 1 18882 -0.15915051 -0.46165533 -9.118653 -26.450902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46148365--0.46165533) × R
    0.000171679999999952 × 6371000     		dl = 1093.77327999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46148365--0.46165533) × R
    0.000171679999999952 × 6371000     		dr = 1093.77327999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(-0.46148365) × R
    0.000191739999999996 × 0.895392847955311 × 6371000     		do = 1093.79000175312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15915051) × cos(-0.46165533) × R
    0.000191739999999996 × 0.895316389596988 × 6371000     		du = 1093.69660209277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46148365)-sin(-0.46165533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895392847955311-0.895316389596988)×R²
    abs(-0.15915051--0.15934225)×7.64583583223732e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64583583223732e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64583583223732e-05×40589641000000     		ar = 1196307.20175992m²