Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15552 / 9920
↖ ↑ ↗
← N 57.704147°
W  9.140625°		 ← 652.71 m → N 57.704147°
W  9.129638°		 →
↑
652.77 m
↓
↑
652.77 m
↓
N 57.698277°
W  9.140625°		 ← 652.82 m →
426 106 m²		 N 57.698277°
W  9.129638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474624633789062 y=0.302749633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474624633789062 × 215)
    floor (0.474624633789062 × 32768)
    floor (15552.5)     		tx = 15552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302749633789062 × 215)
    floor (0.302749633789062 × 32768)
    floor (9920.5)     		ty = 9920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15552 / 9920 ti = "15/15552/9920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15552/9920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15552 ÷ 215
    15552 ÷ 32768     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9920 ÷ 215
    9920 ÷ 32768     		y = 0.302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302734375 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23945647657617))-π/2
    2×atan(3.45373576823313)-π/2
    2×1.28896184403541-π/2
    2.57792368807082-1.57079632675     		φ = 1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15552 KachelY 9920 -0.15953400 1.00712736 -9.140625 57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 15553 KachelY 9920 -0.15934225 1.00712736 -9.129638 57.704147
    Unten links KachelX 15552 KachelY + 1 9921 -0.15953400 1.00702490 -9.140625 57.698277
    Unten rechts KachelX + 1 15553 KachelY + 1 9921 -0.15934225 1.00702490 -9.129638 57.698277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00712736-1.00702490) × R
    0.000102459999999915 × 6371000     		dl = 652.772659999461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00712736-1.00702490) × R
    0.000102459999999915 × 6371000     		dr = 652.772659999461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15934225) × cos(1.00712736) × R
    0.000191750000000018 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 652.711060030818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15934225) × cos(1.00702490) × R
    0.000191750000000018 × 0.534377773272245 × 6371000     		du = 652.816862157038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00712736)-sin(1.00702490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.534377773272245)×R²
    abs(-0.15934225--0.15953400)×8.66066854191549e-05×R²
    0.000191750000000018×8.66066854191549e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.66066854191549e-05×40589641000000     		ar = 426106.467607905m²