Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15552 / 7104
↖ ↑ ↗
← N 70.844672°
W  9.140625°		 ← 400.86 m → N 70.844672°
W  9.129638°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
N 70.841067°
W  9.140625°		 ← 400.93 m →
160 703 m²		 N 70.841067°
W  9.129638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474624633789062 y=0.216812133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474624633789062 × 215)
    floor (0.474624633789062 × 32768)
    floor (15552.5)     		tx = 15552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216812133789062 × 215)
    floor (0.216812133789062 × 32768)
    floor (7104.5)     		ty = 7104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15552 / 7104 ti = "15/15552/7104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15552/7104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15552 ÷ 215
    15552 ÷ 32768     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7104 ÷ 215
    7104 ÷ 32768     		y = 0.216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216796875 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77941771389648))-π/2
    2×atan(5.92640455068764)-π/2
    2×1.40363456087172-π/2
    2.80726912174344-1.57079632675     		φ = 1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15552 KachelY 7104 -0.15953400 1.23647279 -9.140625 70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 15553 KachelY 7104 -0.15934225 1.23647279 -9.129638 70.844672
    Unten links KachelX 15552 KachelY + 1 7105 -0.15953400 1.23640987 -9.140625 70.841067
    Unten rechts KachelX + 1 15553 KachelY + 1 7105 -0.15934225 1.23640987 -9.129638 70.841067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23647279-1.23640987) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dl = 400.8633200012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23647279-1.23640987) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dr = 400.8633200012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15934225) × cos(1.23647279) × R
    0.000191750000000018 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 400.856775256515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15934225) × cos(1.23640987) × R
    0.000191750000000018 × 0.328189671501799 × 6371000     		du = 400.929384151243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23647279)-sin(1.23640987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.328189671501799)×R²
    abs(-0.15934225--0.15953400)×5.94356269478791e-05×R²
    0.000191750000000018×5.94356269478791e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.94356269478791e-05×40589641000000     		ar = 160703.330949121m²