Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15552 / 3395
↖ ↑ ↗
← N 71.944969°
E161.718750°		 ← 757.23 m → N 71.944969°
E161.740722°		 →
↑
757.38 m
↓
↑
757.38 m
↓
N 71.938158°
E161.718750°		 ← 757.50 m →
573 616 m²		 N 71.938158°
E161.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949249267578125 y=0.207244873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949249267578125 × 214)
    floor (0.949249267578125 × 16384)
    floor (15552.5)     		tx = 15552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207244873046875 × 214)
    floor (0.207244873046875 × 16384)
    floor (3395.5)     		ty = 3395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15552 / 3395 ti = "14/15552/3395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15552/3395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15552 ÷ 214
    15552 ÷ 16384     		x = 0.94921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3395 ÷ 214
    3395 ÷ 16384     		y = 0.20721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94921875 × 2 - 1) × π
    0.8984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82252465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20721435546875 × 2 - 1) × π
    0.5855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83962645981927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82252465} λ = 2.82252465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83962645981927))-π/2
    2×atan(6.29418669021713)-π/2
    2×1.41323645709502-π/2
    2.82647291419003-1.57079632675     		φ = 1.25567659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82252465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25567659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.944969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15552 KachelY 3395 2.82252465 1.25567659 161.718750 71.944969
    Oben rechts KachelX + 1 15553 KachelY 3395 2.82290814 1.25567659 161.740722 71.944969
    Unten links KachelX 15552 KachelY + 1 3396 2.82252465 1.25555771 161.718750 71.938158
    Unten rechts KachelX + 1 15553 KachelY + 1 3396 2.82290814 1.25555771 161.740722 71.938158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25567659-1.25555771) × R
    0.000118880000000043 × 6371000     		dl = 757.384480000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25567659-1.25555771) × R
    0.000118880000000043 × 6371000     		dr = 757.384480000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82252465-2.82290814) × cos(1.25567659) × R
    0.000383489999999931 × 0.309930314317437 × 6371000     		do = 757.226327809575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82252465-2.82290814) × cos(1.25555771) × R
    0.000383489999999931 × 0.310043338389825 × 6371000     		du = 757.502469894858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25567659)-sin(1.25555771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309930314317437-0.310043338389825)×R²
    abs(2.82290814-2.82252465)×0.000113024072387113×R²
    0.000383489999999931×0.000113024072387113×6371000²
    0.000383489999999931×0.000113024072387113×40589641000000     		ar = 573616.042071309m²