Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15552 / 3390
↖ ↑ ↗
← N 71.978988°
E161.718750°		 ← 755.85 m → N 71.978988°
E161.740722°		 →
↑
755.98 m
↓
↑
755.98 m
↓
N 71.972189°
E161.718750°		 ← 756.12 m →
571 512 m²		 N 71.972189°
E161.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949249267578125 y=0.206939697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949249267578125 × 214)
    floor (0.949249267578125 × 16384)
    floor (15552.5)     		tx = 15552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206939697265625 × 214)
    floor (0.206939697265625 × 16384)
    floor (3390.5)     		ty = 3390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15552 / 3390 ti = "14/15552/3390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15552/3390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15552 ÷ 214
    15552 ÷ 16384     		x = 0.94921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3390 ÷ 214
    3390 ÷ 16384     		y = 0.2069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94921875 × 2 - 1) × π
    0.8984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82252465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2069091796875 × 2 - 1) × π
    0.586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84154393580408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82252465} λ = 2.82252465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84154393580408))-π/2
    2×atan(6.30626722040135)-π/2
    2×1.41353332835826-π/2
    2.82706665671651-1.57079632675     		φ = 1.25627033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82252465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25627033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.978988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15552 KachelY 3390 2.82252465 1.25627033 161.718750 71.978988
    Oben rechts KachelX + 1 15553 KachelY 3390 2.82290814 1.25627033 161.740722 71.978988
    Unten links KachelX 15552 KachelY + 1 3391 2.82252465 1.25615167 161.718750 71.972189
    Unten rechts KachelX + 1 15553 KachelY + 1 3391 2.82290814 1.25615167 161.740722 71.972189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25627033-1.25615167) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dl = 755.982860000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25627033-1.25615167) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dr = 755.982860000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82252465-2.82290814) × cos(1.25627033) × R
    0.000383489999999931 × 0.309365755908841 × 6371000     		do = 755.846990355873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82252465-2.82290814) × cos(1.25615167) × R
    0.000383489999999931 × 0.309478592641953 × 6371000     		du = 756.122674731069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25627033)-sin(1.25615167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309365755908841-0.309478592641953)×R²
    abs(2.82290814-2.82252465)×0.000112836733112742×R²
    0.000383489999999931×0.000112836733112742×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112836733112742×40589641000000     		ar = 571511.576493098m²