Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15551 / 9768
↖ ↑ ↗
← N 58.585436°
W  9.151611°		 ← 636.75 m → N 58.585436°
W  9.140625°		 →
↑
636.85 m
↓
↑
636.85 m
↓
N 58.579709°
W  9.151611°		 ← 636.86 m →
405 545 m²		 N 58.579709°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474594116210938 y=0.298110961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474594116210938 × 215)
    floor (0.474594116210938 × 32768)
    floor (15551.5)     		tx = 15551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298110961914062 × 215)
    floor (0.298110961914062 × 32768)
    floor (9768.5)     		ty = 9768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15551 / 9768 ti = "15/15551/9768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15551/9768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15551 ÷ 215
    15551 ÷ 32768     		x = 0.474578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9768 ÷ 215
    9768 ÷ 32768     		y = 0.298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.05084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15972575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298095703125 × 2 - 1) × π
    0.40380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26860211154517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15972575} λ = -0.15972575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26860211154517))-π/2
    2×atan(3.55587836516565)-π/2
    2×1.29665253665141-π/2
    2.59330507330282-1.57079632675     		φ = 1.02250875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15972575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.151611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02250875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.585436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15551 KachelY 9768 -0.15972575 1.02250875 -9.151611 58.585436
    Oben rechts KachelX + 1 15552 KachelY 9768 -0.15953400 1.02250875 -9.140625 58.585436
    Unten links KachelX 15551 KachelY + 1 9769 -0.15972575 1.02240879 -9.151611 58.579709
    Unten rechts KachelX + 1 15552 KachelY + 1 9769 -0.15953400 1.02240879 -9.140625 58.579709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02250875-1.02240879) × R
    9.996000000001e-05 × 6371000     		dl = 636.845160000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02250875-1.02240879) × R
    9.996000000001e-05 × 6371000     		dr = 636.845160000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15972575--0.15953400) × cos(1.02250875) × R
    0.000191749999999991 × 0.521226580507597 × 6371000     		do = 636.750848891334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15972575--0.15953400) × cos(1.02240879) × R
    0.000191749999999991 × 0.521311885600013 × 6371000     		du = 636.855060940454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02250875)-sin(1.02240879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521226580507597-0.521311885600013)×R²
    abs(-0.15953400--0.15972575)×8.53050924155552e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53050924155552e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53050924155552e-05×40589641000000     		ar = 405544.880049517m²