Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1555 / 530
↖ ↑ ↗
← N 65.219894°
E 93.339844°		 ← 8 192.44 m → N 65.219894°
E 93.515625°		 →
↑
8 203.87 m
↓
↑
8 203.87 m
↓
N 65.146115°
E 93.339844°		 ← 8 215.28 m →
67 303 437 m²		 N 65.146115°
E 93.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759521484375 y=0.259033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759521484375 × 211)
    floor (0.759521484375 × 2048)
    floor (1555.5)     		tx = 1555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259033203125 × 211)
    floor (0.259033203125 × 2048)
    floor (530.5)     		ty = 530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1555 / 530 ti = "11/1555/530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1555/530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1555 ÷ 211
    1555 ÷ 2048     		x = 0.75927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 530 ÷ 211
    530 ÷ 2048     		y = 0.2587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75927734375 × 2 - 1) × π
    0.5185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62908760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2587890625 × 2 - 1) × π
    0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62908760} λ = 1.62908760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5155730183877))-π/2
    2×atan(4.55202877584876)-π/2
    2×1.35454910688186-π/2
    2.70909821376373-1.57079632675     		φ = 1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62908760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1555 KachelY 530 1.62908760 1.13830189 93.339844 65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 1556 KachelY 530 1.63215556 1.13830189 93.515625 65.219894
    Unten links KachelX 1555 KachelY + 1 531 1.62908760 1.13701420 93.339844 65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 1556 KachelY + 1 531 1.63215556 1.13701420 93.515625 65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13830189-1.13701420) × R
    0.00128768999999984 × 6371000     		dl = 8203.87298999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13830189-1.13701420) × R
    0.00128768999999984 × 6371000     		dr = 8203.87298999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62908760-1.63215556) × cos(1.13830189) × R
    0.00306795999999987 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 8192.43783078085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62908760-1.63215556) × cos(1.13701420) × R
    0.00306795999999987 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 8215.28268794447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13830189)-sin(1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.420305636393538)×R²
    abs(1.63215556-1.62908760)×0.00116877563355949×R²
    0.00306795999999987×0.00116877563355949×6371000²
    0.00306795999999987×0.00116877563355949×40589641000000     		ar = 67303436.8954178m²