Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1555 / 2602
↖ ↑ ↗
← S 43.707593°
W 43.330078°		 ← 7 064.65 m → S 43.707593°
W 43.242188°		 →
↑
7 060.92 m
↓
↑
7 060.92 m
↓
S 43.771094°
W 43.330078°		 ← 7 057.16 m →
49 856 488 m²		 S 43.771094°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3797607421875 y=0.6353759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3797607421875 × 212)
    floor (0.3797607421875 × 4096)
    floor (1555.5)     		tx = 1555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6353759765625 × 212)
    floor (0.6353759765625 × 4096)
    floor (2602.5)     		ty = 2602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1555 / 2602 ti = "12/1555/2602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1555/2602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1555 ÷ 212
    1555 ÷ 4096     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2602 ÷ 212
    2602 ÷ 4096     		y = 0.63525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849825356464356))-π/2
    2×atan(0.427489583722165)-π/2
    2×0.403977456021723-π/2
    0.807954912043446-1.57079632675     		φ = -0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1555 KachelY 2602 -0.75625253 -0.76284141 -43.330078 -43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 1556 KachelY 2602 -0.75471855 -0.76284141 -43.242188 -43.707593
    Unten links KachelX 1555 KachelY + 1 2603 -0.75625253 -0.76394970 -43.330078 -43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 1556 KachelY + 1 2603 -0.75471855 -0.76394970 -43.242188 -43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76284141--0.76394970) × R
    0.0011082899999999 × 6371000     		dl = 7060.91558999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76284141--0.76394970) × R
    0.0011082899999999 × 6371000     		dr = 7060.91558999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75471855) × cos(-0.76284141) × R
    0.00153398000000005 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 7064.65333327698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75471855) × cos(-0.76394970) × R
    0.00153398000000005 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 7057.16480138283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76284141)-sin(-0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.722109331023211)×R²
    abs(-0.75471855--0.75625253)×0.000766248048419182×R²
    0.00153398000000005×0.000766248048419182×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766248048419182×40589641000000     		ar = 49856488.0163314m²