Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15549 / 3396
N 71.938158°
E161.652832°
← 757.52 m → N 71.938158°
E161.674805°

757.64 m

757.64 m
N 71.931344°
E161.652832°
← 757.80 m →
574 033 m²
N 71.931344°
E161.674805°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949066162109375 y=0.207305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949066162109375 × 214)
    floor (0.949066162109375 × 16384)
    floor (15549.5)
    tx = 15549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207305908203125 × 214)
    floor (0.207305908203125 × 16384)
    floor (3396.5)
    ty = 3396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15549 / 3396 ti = "14/15549/3396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15549/3396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15549 ÷ 214
    15549 ÷ 16384
    x = 0.94903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3396 ÷ 214
    3396 ÷ 16384
    y = 0.207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.94903564453125 × 2 - 1) × π
    0.8980712890625 × 3.1415926535
    Λ = 2.82137416
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.207275390625 × 2 - 1) × π
    0.58544921875 × 3.1415926535
    Φ = 1.83924296462231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82137416} λ = 2.82137416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83924296462231))-π/2
    2×atan(6.291773362632)-π/2
    2×1.41317701786576-π/2
    2.82635403573151-1.57079632675
    φ = 1.25555771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82137416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25555771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.938158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15549 KachelY 3396 2.82137416 1.25555771 161.652832 71.938158
    Oben rechts KachelX + 1 15550 KachelY 3396 2.82175766 1.25555771 161.674805 71.938158
    Unten links KachelX 15549 KachelY + 1 3397 2.82137416 1.25543879 161.652832 71.931344
    Unten rechts KachelX + 1 15550 KachelY + 1 3397 2.82175766 1.25543879 161.674805 71.931344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.25555771-1.25543879) × R
    0.000118920000000022 × 6371000
    dl = 757.639320000142m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.25555771-1.25543879) × R
    0.000118920000000022 × 6371000
    dr = 757.639320000142m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.82137416-2.82175766) × cos(1.25555771) × R
    0.00038349999999987 × 0.310043338389825 × 6371000
    do = 757.522222755826m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.82137416-2.82175766) × cos(1.25543879) × R
    0.00038349999999987 × 0.31015639610796 × 6371000
    du = 757.798454247807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.25555771)-sin(1.25543879))×
    abs(λ12)×abs(0.310043338389825-0.31015639610796)×
    abs(2.82175766-2.82137416)×0.000113057718135856×
    0.00038349999999987×0.000113057718135856×6371000²
    0.00038349999999987×0.000113057718135856×40589641000000
    ar = 574033.264329368m²