Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15548 / 8650
↖ ↑ ↗
← N 64.425408°
W  9.184570°		 ← 527.36 m → N 64.425408°
W  9.173584°		 →
↑
527.39 m
↓
↑
527.39 m
↓
N 64.420666°
W  9.184570°		 ← 527.46 m →
278 151 m²		 N 64.420666°
W  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474502563476562 y=0.263992309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474502563476562 × 215)
    floor (0.474502563476562 × 32768)
    floor (15548.5)     		tx = 15548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263992309570312 × 215)
    floor (0.263992309570312 × 32768)
    floor (8650.5)     		ty = 8650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15548 / 8650 ti = "15/15548/8650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15548/8650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15548 ÷ 215
    15548 ÷ 32768     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8650 ÷ 215
    8650 ÷ 32768     		y = 0.26397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26397705078125 × 2 - 1) × π
    0.4720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48297592664606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48297592664606))-π/2
    2×atan(4.40603823660549)-π/2
    2×1.34761591265138-π/2
    2.69523182530277-1.57079632675     		φ = 1.12443550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12443550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.425408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15548 KachelY 8650 -0.16030099 1.12443550 -9.184570 64.425408
    Oben rechts KachelX + 1 15549 KachelY 8650 -0.16010924 1.12443550 -9.173584 64.425408
    Unten links KachelX 15548 KachelY + 1 8651 -0.16030099 1.12435272 -9.184570 64.420666
    Unten rechts KachelX + 1 15549 KachelY + 1 8651 -0.16010924 1.12435272 -9.173584 64.420666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12443550-1.12435272) × R
    8.2779999999838e-05 × 6371000     		dl = 527.391379998968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12443550-1.12435272) × R
    8.2779999999838e-05 × 6371000     		dr = 527.391379998968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.16010924) × cos(1.12443550) × R
    0.000191749999999991 × 0.431685778129078 × 6371000     		do = 527.364290229247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.16010924) × cos(1.12435272) × R
    0.000191749999999991 × 0.431760446200882 × 6371000     		du = 527.455507676485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12443550)-sin(1.12435272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431685778129078-0.431760446200882)×R²
    abs(-0.16010924--0.16030099)×7.46680718041737e-05×R²
    0.000191749999999991×7.46680718041737e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.46680718041737e-05×40589641000000     		ar = 278151.434592993m²