Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15548 / 8636
↖ ↑ ↗
← N 64.491725°
W  9.184570°		 ← 526.09 m → N 64.491725°
W  9.173584°		 →
↑
526.12 m
↓
↑
526.12 m
↓
N 64.486993°
W  9.184570°		 ← 526.18 m →
276 808 m²		 N 64.486993°
W  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474502563476562 y=0.263565063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474502563476562 × 215)
    floor (0.474502563476562 × 32768)
    floor (15548.5)     		tx = 15548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263565063476562 × 215)
    floor (0.263565063476562 × 32768)
    floor (8636.5)     		ty = 8636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15548 / 8636 ti = "15/15548/8636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15548/8636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15548 ÷ 215
    15548 ÷ 32768     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8636 ÷ 215
    8636 ÷ 32768     		y = 0.2635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2635498046875 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48566039302478))-π/2
    2×atan(4.41788198807882)-π/2
    2×1.34819463454574-π/2
    2.69638926909149-1.57079632675     		φ = 1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15548 KachelY 8636 -0.16030099 1.12559294 -9.184570 64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 15549 KachelY 8636 -0.16010924 1.12559294 -9.173584 64.491725
    Unten links KachelX 15548 KachelY + 1 8637 -0.16030099 1.12551036 -9.184570 64.486993
    Unten rechts KachelX + 1 15549 KachelY + 1 8637 -0.16010924 1.12551036 -9.173584 64.486993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12559294-1.12551036) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dl = 526.117179999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12559294-1.12551036) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dr = 526.117179999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.16010924) × cos(1.12559294) × R
    0.000191749999999991 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 526.088498591479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.16010924) × cos(1.12551036) × R
    0.000191749999999991 × 0.430715979375635 × 6371000     		du = 526.17954600744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12559294)-sin(1.12551036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430715979375635)×R²
    abs(-0.16010924--0.16030099)×7.45288889182905e-05×R²
    0.000191749999999991×7.45288889182905e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.45288889182905e-05×40589641000000     		ar = 276808.148271266m²