Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15547 / 18892
↖ ↑ ↗
← S 26.549223°
W  9.195557°		 ← 1 092.82 m → S 26.549223°
W  9.184570°		 →
↑
1 092.75 m
↓
↑
1 092.75 m
↓
S 26.559050°
W  9.195557°		 ← 1 092.72 m →
1 194 130 m²		 S 26.559050°
W  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474472045898438 y=0.576553344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474472045898438 × 215)
    floor (0.474472045898438 × 32768)
    floor (15547.5)     		tx = 15547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576553344726562 × 215)
    floor (0.576553344726562 × 32768)
    floor (18892.5)     		ty = 18892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15547 / 18892 ti = "15/15547/18892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15547/18892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15547 ÷ 215
    15547 ÷ 32768     		x = 0.474456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18892 ÷ 215
    18892 ÷ 32768     		y = 0.5765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.05108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16049274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.480902976988403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16049274} λ = -0.16049274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480902976988403))-π/2
    2×atan(0.618224896834536)-π/2
    2×0.553712489490825-π/2
    1.10742497898165-1.57079632675     		φ = -0.46337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16049274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.549223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15547 KachelY 18892 -0.16049274 -0.46337135 -9.195557 -26.549223
    Oben rechts KachelX + 1 15548 KachelY 18892 -0.16030099 -0.46337135 -9.184570 -26.549223
    Unten links KachelX 15547 KachelY + 1 18893 -0.16049274 -0.46354287 -9.195557 -26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 15548 KachelY + 1 18893 -0.16030099 -0.46354287 -9.184570 -26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46337135--0.46354287) × R
    0.000171519999999981 × 6371000     		dl = 1092.75391999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46337135--0.46354287) × R
    0.000171519999999981 × 6371000     		dr = 1092.75391999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16049274--0.16030099) × cos(-0.46337135) × R
    0.000191749999999991 × 0.894550703648474 × 6371000     		do = 1092.81825069204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16049274--0.16030099) × cos(-0.46354287) × R
    0.000191749999999991 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 1092.72457924306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46337135)-sin(-0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894550703648474-0.894474026798921)×R²
    abs(-0.16030099--0.16049274)×7.66768495528147e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66768495528147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66768495528147e-05×40589641000000     		ar = 1194130.25029711m²