Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15546 / 8653
↖ ↑ ↗
← N 64.411177°
W  9.206543°		 ← 527.64 m → N 64.411177°
W  9.195557°		 →
↑
527.65 m
↓
↑
527.65 m
↓
N 64.406432°
W  9.206543°		 ← 527.73 m →
278 430 m²		 N 64.406432°
W  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474441528320312 y=0.264083862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474441528320312 × 215)
    floor (0.474441528320312 × 32768)
    floor (15546.5)     		tx = 15546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264083862304688 × 215)
    floor (0.264083862304688 × 32768)
    floor (8653.5)     		ty = 8653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15546 / 8653 ti = "15/15546/8653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15546/8653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15546 ÷ 215
    15546 ÷ 32768     		x = 0.47442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8653 ÷ 215
    8653 ÷ 32768     		y = 0.264068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264068603515625 × 2 - 1) × π
    0.47186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48240068385062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16068449} λ = -0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48240068385062))-π/2
    2×atan(4.40350442370213)-π/2
    2×1.34749171836704-π/2
    2.69498343673408-1.57079632675     		φ = 1.12418711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12418711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.411177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15546 KachelY 8653 -0.16068449 1.12418711 -9.206543 64.411177
    Oben rechts KachelX + 1 15547 KachelY 8653 -0.16049274 1.12418711 -9.195557 64.411177
    Unten links KachelX 15546 KachelY + 1 8654 -0.16068449 1.12410429 -9.206543 64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 15547 KachelY + 1 8654 -0.16049274 1.12410429 -9.195557 64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12418711-1.12410429) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dl = 527.646220000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12418711-1.12410429) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dr = 527.646220000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16068449--0.16049274) × cos(1.12418711) × R
    0.000191750000000018 × 0.431909818563868 × 6371000     		do = 527.63798681805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16068449--0.16049274) × cos(1.12410429) × R
    0.000191750000000018 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 527.729237488948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12418711)-sin(1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431909818563868-0.431984513831638)×R²
    abs(-0.16049274--0.16068449)×7.46952677707635e-05×R²
    0.000191750000000018×7.46952677707635e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.46952677707635e-05×40589641000000     		ar = 278430.26346801m²