Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15546 / 8633
↖ ↑ ↗
← N 64.505915°
W  9.206543°		 ← 525.82 m → N 64.505915°
W  9.195557°		 →
↑
525.86 m
↓
↑
525.86 m
↓
N 64.501186°
W  9.206543°		 ← 525.91 m →
276 530 m²		 N 64.501186°
W  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474441528320312 y=0.263473510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474441528320312 × 215)
    floor (0.474441528320312 × 32768)
    floor (15546.5)     		tx = 15546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263473510742188 × 215)
    floor (0.263473510742188 × 32768)
    floor (8633.5)     		ty = 8633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15546 / 8633 ti = "15/15546/8633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15546/8633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15546 ÷ 215
    15546 ÷ 32768     		x = 0.47442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8633 ÷ 215
    8633 ÷ 32768     		y = 0.263458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263458251953125 × 2 - 1) × π
    0.47308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48623563582022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16068449} λ = -0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48623563582022))-π/2
    2×atan(4.42042407395176)-π/2
    2×1.34831846409272-π/2
    2.69663692818543-1.57079632675     		φ = 1.12584060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12584060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.505915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15546 KachelY 8633 -0.16068449 1.12584060 -9.206543 64.505915
    Oben rechts KachelX + 1 15547 KachelY 8633 -0.16049274 1.12584060 -9.195557 64.505915
    Unten links KachelX 15546 KachelY + 1 8634 -0.16068449 1.12575806 -9.206543 64.501186
    Unten rechts KachelX + 1 15547 KachelY + 1 8634 -0.16049274 1.12575806 -9.195557 64.501186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12584060-1.12575806) × R
    8.25400000001864e-05 × 6371000     		dl = 525.862340001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12584060-1.12575806) × R
    8.25400000001864e-05 × 6371000     		dr = 525.862340001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16068449--0.16049274) × cos(1.12584060) × R
    0.000191750000000018 × 0.43041791841193 × 6371000     		do = 525.815423035362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16068449--0.16049274) × cos(1.12575806) × R
    0.000191750000000018 × 0.430492420002935 × 6371000     		du = 525.90643710312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12584060)-sin(1.12575806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43041791841193-0.430492420002935)×R²
    abs(-0.16049274--0.16068449)×7.45015910043612e-05×R²
    0.000191750000000018×7.45015910043612e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.45015910043612e-05×40589641000000     		ar = 276530.459358787m²