Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15545 / 8501
↖ ↑ ↗
← N 65.123017°
W  9.217530°		 ← 513.91 m → N 65.123017°
W  9.206543°		 →
↑
513.95 m
↓
↑
513.95 m
↓
N 65.118395°
W  9.217530°		 ← 514 m →
264 146 m²		 N 65.118395°
W  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474411010742188 y=0.259445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474411010742188 × 215)
    floor (0.474411010742188 × 32768)
    floor (15545.5)     		tx = 15545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259445190429688 × 215)
    floor (0.259445190429688 × 32768)
    floor (8501.5)     		ty = 8501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15545 / 8501 ti = "15/15545/8501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15545/8501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15545 ÷ 215
    15545 ÷ 32768     		x = 0.474395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8501 ÷ 215
    8501 ÷ 32768     		y = 0.259429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16087624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259429931640625 × 2 - 1) × π
    0.48114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51154631881961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16087624} λ = -0.16087624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51154631881961))-π/2
    2×atan(4.5337359780607)-π/2
    2×1.35370369372449-π/2
    2.70740738744897-1.57079632675     		φ = 1.13661106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16087624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13661106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.123017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15545 KachelY 8501 -0.16087624 1.13661106 -9.217530 65.123017
    Oben rechts KachelX + 1 15546 KachelY 8501 -0.16068449 1.13661106 -9.206543 65.123017
    Unten links KachelX 15545 KachelY + 1 8502 -0.16087624 1.13653039 -9.217530 65.118395
    Unten rechts KachelX + 1 15546 KachelY + 1 8502 -0.16068449 1.13653039 -9.206543 65.118395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13661106-1.13653039) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dl = 513.948570000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13661106-1.13653039) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dr = 513.948570000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16087624--0.16068449) × cos(1.13661106) × R
    0.000191749999999991 × 0.420671404448176 × 6371000     		do = 513.908699026491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16087624--0.16068449) × cos(1.13653039) × R
    0.000191749999999991 × 0.420744587958334 × 6371000     		du = 513.998102874953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13661106)-sin(1.13653039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420671404448176-0.420744587958334)×R²
    abs(-0.16068449--0.16087624)×7.31835101580591e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31835101580591e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31835101580591e-05×40589641000000     		ar = 264145.615609m²