Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15544 / 9551
↖ ↑ ↗
← N 59.806160°
W  9.228515°		 ← 614.36 m → N 59.806160°
W  9.217530°		 →
↑
614.48 m
↓
↑
614.48 m
↓
N 59.800634°
W  9.228515°		 ← 614.47 m →
377 547 m²		 N 59.800634°
W  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474380493164062 y=0.291488647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474380493164062 × 215)
    floor (0.474380493164062 × 32768)
    floor (15544.5)     		tx = 15544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291488647460938 × 215)
    floor (0.291488647460938 × 32768)
    floor (9551.5)     		ty = 9551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15544 / 9551 ti = "15/15544/9551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15544/9551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15544 ÷ 215
    15544 ÷ 32768     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9551 ÷ 215
    9551 ÷ 32768     		y = 0.291473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291473388671875 × 2 - 1) × π
    0.41705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31021134041537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31021134041537))-π/2
    2×atan(3.70695705927552)-π/2
    2×1.30730536622617-π/2
    2.61461073245233-1.57079632675     		φ = 1.04381441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04381441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.806160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15544 KachelY 9551 -0.16106798 1.04381441 -9.228515 59.806160
    Oben rechts KachelX + 1 15545 KachelY 9551 -0.16087624 1.04381441 -9.217530 59.806160
    Unten links KachelX 15544 KachelY + 1 9552 -0.16106798 1.04371796 -9.228515 59.800634
    Unten rechts KachelX + 1 15545 KachelY + 1 9552 -0.16087624 1.04371796 -9.217530 59.800634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04381441-1.04371796) × R
    9.64500000000257e-05 × 6371000     		dl = 614.482950000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04381441-1.04371796) × R
    9.64500000000257e-05 × 6371000     		dr = 614.482950000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.16087624) × cos(1.04381441) × R
    0.000191739999999996 × 0.502927019223414 × 6371000     		do = 614.363345088419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.16087624) × cos(1.04371796) × R
    0.000191739999999996 × 0.503010381404526 × 6371000     		du = 614.465178289826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04381441)-sin(1.04371796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502927019223414-0.503010381404526)×R²
    abs(-0.16087624--0.16106798)×8.33621811114904e-05×R²
    0.000191739999999996×8.33621811114904e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.33621811114904e-05×40589641000000     		ar = 377547.088337474m²