Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15543 / 8499
↖ ↑ ↗
← N 65.132258°
W  9.239502°		 ← 513.73 m → N 65.132258°
W  9.228515°		 →
↑
513.76 m
↓
↑
513.76 m
↓
N 65.127638°
W  9.239502°		 ← 513.82 m →
263 956 m²		 N 65.127638°
W  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474349975585938 y=0.259384155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474349975585938 × 215)
    floor (0.474349975585938 × 32768)
    floor (15543.5)     		tx = 15543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259384155273438 × 215)
    floor (0.259384155273438 × 32768)
    floor (8499.5)     		ty = 8499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15543 / 8499 ti = "15/15543/8499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15543/8499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15543 ÷ 215
    15543 ÷ 32768     		x = 0.474334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8499 ÷ 215
    8499 ÷ 32768     		y = 0.259368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259368896484375 × 2 - 1) × π
    0.48126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51192981401657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16125973} λ = -0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51192981401657))-π/2
    2×atan(4.53547497746022)-π/2
    2×1.35378434242544-π/2
    2.70756868485088-1.57079632675     		φ = 1.13677236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13677236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.132258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15543 KachelY 8499 -0.16125973 1.13677236 -9.239502 65.132258
    Oben rechts KachelX + 1 15544 KachelY 8499 -0.16106798 1.13677236 -9.228515 65.132258
    Unten links KachelX 15543 KachelY + 1 8500 -0.16125973 1.13669172 -9.239502 65.127638
    Unten rechts KachelX + 1 15544 KachelY + 1 8500 -0.16106798 1.13669172 -9.228515 65.127638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13677236-1.13669172) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dl = 513.757439999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13677236-1.13669172) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dr = 513.757439999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16125973--0.16106798) × cos(1.13677236) × R
    0.000191749999999991 × 0.420525065506828 × 6371000     		do = 513.729925631937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16125973--0.16106798) × cos(1.13669172) × R
    0.000191749999999991 × 0.420598227272906 × 6371000     		du = 513.819302916977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13677236)-sin(1.13669172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420525065506828-0.420598227272906)×R²
    abs(-0.16106798--0.16125973)×7.31617660781891e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×40589641000000     		ar = 263955.530709627m²