Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15541 / 9893
↖ ↑ ↗
← N 57.862288°
W  9.261475°		 ← 649.86 m → N 57.862288°
W  9.250488°		 →
↑
649.91 m
↓
↑
649.91 m
↓
N 57.856443°
W  9.261475°		 ← 649.96 m →
422 381 m²		 N 57.856443°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474288940429688 y=0.301925659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474288940429688 × 215)
    floor (0.474288940429688 × 32768)
    floor (15541.5)     		tx = 15541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301925659179688 × 215)
    floor (0.301925659179688 × 32768)
    floor (9893.5)     		ty = 9893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15541 / 9893 ti = "15/15541/9893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15541/9893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15541 ÷ 215
    15541 ÷ 32768     		x = 0.474273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9893 ÷ 215
    9893 ÷ 32768     		y = 0.301910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.05145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301910400390625 × 2 - 1) × π
    0.39617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24463366173514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16164323} λ = -0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24463366173514))-π/2
    2×atan(3.4716627634404)-π/2
    2×1.29034188250577-π/2
    2.58068376501154-1.57079632675     		φ = 1.00988744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00988744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.862288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15541 KachelY 9893 -0.16164323 1.00988744 -9.261475 57.862288
    Oben rechts KachelX + 1 15542 KachelY 9893 -0.16145148 1.00988744 -9.250488 57.862288
    Unten links KachelX 15541 KachelY + 1 9894 -0.16164323 1.00978543 -9.261475 57.856443
    Unten rechts KachelX + 1 15542 KachelY + 1 9894 -0.16145148 1.00978543 -9.250488 57.856443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00988744-1.00978543) × R
    0.000102009999999986 × 6371000     		dl = 649.905709999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00988744-1.00978543) × R
    0.000102009999999986 × 6371000     		dr = 649.905709999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16164323--0.16145148) × cos(1.00988744) × R
    0.000191749999999991 × 0.531956037397312 × 6371000     		do = 649.858374558992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16164323--0.16145148) × cos(1.00978543) × R
    0.000191749999999991 × 0.532042413838351 × 6371000     		du = 649.963895409641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00988744)-sin(1.00978543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531956037397312-0.532042413838351)×R²
    abs(-0.16145148--0.16164323)×8.63764410391488e-05×R²
    0.000191749999999991×8.63764410391488e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.63764410391488e-05×40589641000000     		ar = 422380.957985201m²