Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15540 / 9894
↖ ↑ ↗
← N 57.856443°
W  9.272461°		 ← 649.93 m → N 57.856443°
W  9.261475°		 →
↑
650.03 m
↓
↑
650.03 m
↓
N 57.850597°
W  9.272461°		 ← 650.04 m →
422 510 m²		 N 57.850597°
W  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474258422851562 y=0.301956176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474258422851562 × 215)
    floor (0.474258422851562 × 32768)
    floor (15540.5)     		tx = 15540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301956176757812 × 215)
    floor (0.301956176757812 × 32768)
    floor (9894.5)     		ty = 9894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15540 / 9894 ti = "15/15540/9894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15540/9894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15540 ÷ 215
    15540 ÷ 32768     		x = 0.4742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9894 ÷ 215
    9894 ÷ 32768     		y = 0.30194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30194091796875 × 2 - 1) × π
    0.3961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24444191413666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16183497} λ = -0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24444191413666))-π/2
    2×atan(3.47099714426025)-π/2
    2×1.29029087771876-π/2
    2.58058175543752-1.57079632675     		φ = 1.00978543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00978543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.856443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15540 KachelY 9894 -0.16183497 1.00978543 -9.272461 57.856443
    Oben rechts KachelX + 1 15541 KachelY 9894 -0.16164323 1.00978543 -9.261475 57.856443
    Unten links KachelX 15540 KachelY + 1 9895 -0.16183497 1.00968340 -9.272461 57.850597
    Unten rechts KachelX + 1 15541 KachelY + 1 9895 -0.16164323 1.00968340 -9.261475 57.850597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00978543-1.00968340) × R
    0.000102030000000086 × 6371000     		dl = 650.033130000549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00978543-1.00968340) × R
    0.000102030000000086 × 6371000     		dr = 650.033130000549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16183497--0.16164323) × cos(1.00978543) × R
    0.000191739999999996 × 0.532042413838351 × 6371000     		do = 649.929998987473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16183497--0.16164323) × cos(1.00968340) × R
    0.000191739999999996 × 0.532128801676204 × 6371000     		du = 650.035528257148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00978543)-sin(1.00968340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532042413838351-0.532128801676204)×R²
    abs(-0.16164323--0.16183497)×8.63878378528637e-05×R²
    0.000191739999999996×8.63878378528637e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.63878378528637e-05×40589641000000     		ar = 422510.330650712m²