Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15540 / 18900
↖ ↑ ↗
← S 26.627818°
W  9.272461°		 ← 1 092.01 m → S 26.627818°
W  9.261475°		 →
↑
1 091.99 m
↓
↑
1 091.99 m
↓
S 26.637639°
W  9.272461°		 ← 1 091.92 m →
1 192 413 m²		 S 26.637639°
W  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474258422851562 y=0.576797485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474258422851562 × 215)
    floor (0.474258422851562 × 32768)
    floor (15540.5)     		tx = 15540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576797485351562 × 215)
    floor (0.576797485351562 × 32768)
    floor (18900.5)     		ty = 18900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15540 / 18900 ti = "15/15540/18900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15540/18900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15540 ÷ 215
    15540 ÷ 32768     		x = 0.4742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18900 ÷ 215
    18900 ÷ 32768     		y = 0.5767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482436957776245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16183497} λ = -0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482436957776245))-π/2
    2×atan(0.617277278720037)-π/2
    2×0.553026613067054-π/2
    1.10605322613411-1.57079632675     		φ = -0.46474310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46474310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.627818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15540 KachelY 18900 -0.16183497 -0.46474310 -9.272461 -26.627818
    Oben rechts KachelX + 1 15541 KachelY 18900 -0.16164323 -0.46474310 -9.261475 -26.627818
    Unten links KachelX 15540 KachelY + 1 18901 -0.16183497 -0.46491450 -9.272461 -26.637639
    Unten rechts KachelX + 1 15541 KachelY + 1 18901 -0.16164323 -0.46491450 -9.261475 -26.637639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46474310--0.46491450) × R
    0.000171399999999988 × 6371000     		dl = 1091.98939999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46474310--0.46491450) × R
    0.000171399999999988 × 6371000     		dr = 1091.98939999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16183497--0.16164323) × cos(-0.46474310) × R
    0.000191739999999996 × 0.893936735928101 × 6371000     		do = 1092.01125091718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16183497--0.16164323) × cos(-0.46491450) × R
    0.000191739999999996 × 0.893859902489168 × 6371000     		du = 1091.91739306753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46474310)-sin(-0.46491450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893936735928101-0.893859902489168)×R²
    abs(-0.16164323--0.16183497)×7.6833438933499e-05×R²
    0.000191739999999996×7.6833438933499e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.6833438933499e-05×40589641000000     		ar = 1192413.46771323m²