Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15536 / 8775
↖ ↑ ↗
← N 63.826134°
W  9.316406°		 ← 538.83 m → N 63.826134°
W  9.305420°		 →
↑
538.92 m
↓
↑
538.92 m
↓
N 63.821288°
W  9.316406°		 ← 538.93 m →
290 414 m²		 N 63.821288°
W  9.305420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474136352539062 y=0.267807006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474136352539062 × 215)
    floor (0.474136352539062 × 32768)
    floor (15536.5)     		tx = 15536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267807006835938 × 215)
    floor (0.267807006835938 × 32768)
    floor (8775.5)     		ty = 8775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15536 / 8775 ti = "15/15536/8775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15536/8775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15536 ÷ 215
    15536 ÷ 32768     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8775 ÷ 215
    8775 ÷ 32768     		y = 0.267791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267791748046875 × 2 - 1) × π
    0.46441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45900747683603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45900747683603))-π/2
    2×atan(4.30168788397386)-π/2
    2×1.34238625782888-π/2
    2.68477251565777-1.57079632675     		φ = 1.11397619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11397619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.826134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15536 KachelY 8775 -0.16260196 1.11397619 -9.316406 63.826134
    Oben rechts KachelX + 1 15537 KachelY 8775 -0.16241022 1.11397619 -9.305420 63.826134
    Unten links KachelX 15536 KachelY + 1 8776 -0.16260196 1.11389160 -9.316406 63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 15537 KachelY + 1 8776 -0.16241022 1.11389160 -9.305420 63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11397619-1.11389160) × R
    8.458999999994e-05 × 6371000     		dl = 538.922889999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11397619-1.11389160) × R
    8.458999999994e-05 × 6371000     		dr = 538.922889999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.16241022) × cos(1.11397619) × R
    0.000191739999999996 × 0.441096542905223 × 6371000     		do = 538.832747591569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.16241022) × cos(1.11389160) × R
    0.000191739999999996 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 538.925482929864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11397619)-sin(1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441096542905223-0.441172457439575)×R²
    abs(-0.16241022--0.16260196)×7.59145343524614e-05×R²
    0.000191739999999996×7.59145343524614e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.59145343524614e-05×40589641000000     		ar = 290414.290330149m²