Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15536 / 18864
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
W  9.316406°		 ← 1 095.37 m → S 26.273714°
W  9.305420°		 →
↑
1 095.37 m
↓
↑
1 095.37 m
↓
S 26.283565°
W  9.316406°		 ← 1 095.28 m →
1 199 785 m²		 S 26.283565°
W  9.305420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474136352539062 y=0.575698852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474136352539062 × 215)
    floor (0.474136352539062 × 32768)
    floor (15536.5)     		tx = 15536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575698852539062 × 215)
    floor (0.575698852539062 × 32768)
    floor (18864.5)     		ty = 18864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15536 / 18864 ti = "15/15536/18864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15536/18864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15536 ÷ 215
    15536 ÷ 32768     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18864 ÷ 215
    18864 ÷ 32768     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15536 KachelY 18864 -0.16260196 -0.45856282 -9.316406 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 15537 KachelY 18864 -0.16241022 -0.45856282 -9.305420 -26.273714
    Unten links KachelX 15536 KachelY + 1 18865 -0.16260196 -0.45873475 -9.316406 -26.283565
    Unten rechts KachelX + 1 15537 KachelY + 1 18865 -0.16241022 -0.45873475 -9.305420 -26.283565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.45873475) × R
    0.000171930000000042 × 6371000     		dl = 1095.36603000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.45873475) × R
    0.000171930000000042 × 6371000     		dr = 1095.36603000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.16241022) × cos(-0.45856282) × R
    0.000191739999999996 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 1095.3740887509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.16241022) × cos(-0.45873475) × R
    0.000191739999999996 × 0.896613485491882 × 6371000     		du = 1095.281102711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.45873475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896613485491882)×R²
    abs(-0.16241022--0.16260196)×7.61197624272736e-05×R²
    0.000191739999999996×7.61197624272736e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.61197624272736e-05×40589641000000     		ar = 1199784.64304092m²