Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15535 / 9878
↖ ↑ ↗
← N 57.949845°
W  9.327393°		 ← 648.28 m → N 57.949845°
W  9.316406°		 →
↑
648.38 m
↓
↑
648.38 m
↓
N 57.944014°
W  9.327393°		 ← 648.38 m →
420 362 m²		 N 57.944014°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474105834960938 y=0.301467895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474105834960938 × 215)
    floor (0.474105834960938 × 32768)
    floor (15535.5)     		tx = 15535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301467895507812 × 215)
    floor (0.301467895507812 × 32768)
    floor (9878.5)     		ty = 9878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15535 / 9878 ti = "15/15535/9878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15535/9878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15535 ÷ 215
    15535 ÷ 32768     		x = 0.474090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9878 ÷ 215
    9878 ÷ 32768     		y = 0.30145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.05181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16279371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30145263671875 × 2 - 1) × π
    0.3970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24750987571234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16279371} λ = -0.16279371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24750987571234))-π/2
    2×atan(3.48166238203254)-π/2
    2×1.29110596107166-π/2
    2.58221192214332-1.57079632675     		φ = 1.01141560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16279371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.327393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01141560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.949845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15535 KachelY 9878 -0.16279371 1.01141560 -9.327393 57.949845
    Oben rechts KachelX + 1 15536 KachelY 9878 -0.16260196 1.01141560 -9.316406 57.949845
    Unten links KachelX 15535 KachelY + 1 9879 -0.16279371 1.01131383 -9.327393 57.944014
    Unten rechts KachelX + 1 15536 KachelY + 1 9879 -0.16260196 1.01131383 -9.316406 57.944014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01141560-1.01131383) × R
    0.000101770000000112 × 6371000     		dl = 648.376670000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01141560-1.01131383) × R
    0.000101770000000112 × 6371000     		dr = 648.376670000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16279371--0.16260196) × cos(1.01141560) × R
    0.000191750000000018 × 0.530661413711517 × 6371000     		do = 648.276811450539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16279371--0.16260196) × cos(1.01131383) × R
    0.000191750000000018 × 0.530747669576593 × 6371000     		du = 648.382185000859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01141560)-sin(1.01131383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530661413711517-0.530747669576593)×R²
    abs(-0.16260196--0.16279371)×8.62558650761569e-05×R²
    0.000191750000000018×8.62558650761569e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.62558650761569e-05×40589641000000     		ar = 420361.721485778m²