Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15535 / 8773
↖ ↑ ↗
← N 63.835825°
W  9.327393°		 ← 538.68 m → N 63.835825°
W  9.316406°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
N 63.830980°
W  9.327393°		 ← 538.77 m →
290 227 m²		 N 63.830980°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474105834960938 y=0.267745971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474105834960938 × 215)
    floor (0.474105834960938 × 32768)
    floor (15535.5)     		tx = 15535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267745971679688 × 215)
    floor (0.267745971679688 × 32768)
    floor (8773.5)     		ty = 8773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15535 / 8773 ti = "15/15535/8773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15535/8773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15535 ÷ 215
    15535 ÷ 32768     		x = 0.474090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8773 ÷ 215
    8773 ÷ 32768     		y = 0.267730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.05181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16279371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267730712890625 × 2 - 1) × π
    0.46453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45939097203299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16279371} λ = -0.16279371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45939097203299))-π/2
    2×atan(4.30333787697816)-π/2
    2×1.34247082247827-π/2
    2.68494164495654-1.57079632675     		φ = 1.11414532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16279371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.327393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11414532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.835825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15535 KachelY 8773 -0.16279371 1.11414532 -9.327393 63.835825
    Oben rechts KachelX + 1 15536 KachelY 8773 -0.16260196 1.11414532 -9.316406 63.835825
    Unten links KachelX 15535 KachelY + 1 8774 -0.16279371 1.11406076 -9.327393 63.830980
    Unten rechts KachelX + 1 15536 KachelY + 1 8774 -0.16260196 1.11406076 -9.316406 63.830980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11414532-1.11406076) × R
    8.45599999999003e-05 × 6371000     		dl = 538.731759999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11414532-1.11406076) × R
    8.45599999999003e-05 × 6371000     		dr = 538.731759999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16279371--0.16260196) × cos(1.11414532) × R
    0.000191750000000018 × 0.440944749245017 × 6371000     		do = 538.675412759172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16279371--0.16260196) × cos(1.11406076) × R
    0.000191750000000018 × 0.441020643164557 × 6371000     		du = 538.768127750119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11414532)-sin(1.11406076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440944749245017-0.441020643164557)×R²
    abs(-0.16260196--0.16279371)×7.58939195399377e-05×R²
    0.000191750000000018×7.58939195399377e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.58939195399377e-05×40589641000000     		ar = 290226.5276122m²