Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15532 / 18844
↖ ↑ ↗
← S 26.076520°
W  9.360351°		 ← 1 097.23 m → S 26.076520°
W  9.349365°		 →
↑
1 097.21 m
↓
↑
1 097.21 m
↓
S 26.086388°
W  9.360351°		 ← 1 097.14 m →
1 203 843 m²		 S 26.086388°
W  9.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474014282226562 y=0.575088500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474014282226562 × 215)
    floor (0.474014282226562 × 32768)
    floor (15532.5)     		tx = 15532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575088500976562 × 215)
    floor (0.575088500976562 × 32768)
    floor (18844.5)     		ty = 18844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15532 / 18844 ti = "15/15532/18844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15532/18844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15532 ÷ 215
    15532 ÷ 32768     		x = 0.4739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18844 ÷ 215
    18844 ÷ 32768     		y = 0.5750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.471699092261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16336895} λ = -0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.471699092261353))-π/2
    2×atan(0.623941233418657)-π/2
    2×0.557837592786754-π/2
    1.11567518557351-1.57079632675     		φ = -0.45512114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45512114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.076520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15532 KachelY 18844 -0.16336895 -0.45512114 -9.360351 -26.076520
    Oben rechts KachelX + 1 15533 KachelY 18844 -0.16317721 -0.45512114 -9.349365 -26.076520
    Unten links KachelX 15532 KachelY + 1 18845 -0.16336895 -0.45529336 -9.360351 -26.086388
    Unten rechts KachelX + 1 15533 KachelY + 1 18845 -0.16317721 -0.45529336 -9.349365 -26.086388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45512114--0.45529336) × R
    0.000172220000000001 × 6371000     		dl = 1097.21362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45512114--0.45529336) × R
    0.000172220000000001 × 6371000     		dr = 1097.21362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16336895--0.16317721) × cos(-0.45512114) × R
    0.000191740000000024 × 0.898207785123052 × 6371000     		do = 1097.22866014403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16336895--0.16317721) × cos(-0.45529336) × R
    0.000191740000000024 × 0.89813206886382 × 6371000     		du = 1097.13616701377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45512114)-sin(-0.45529336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898207785123052-0.89813206886382)×R²
    abs(-0.16317721--0.16336895)×7.57162592314176e-05×R²
    0.000191740000000024×7.57162592314176e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.57162592314176e-05×40589641000000     		ar = 1203843.49077879m²